ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Насыщенные и D-оптимальные планы из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" При симплексном методе планирования используют некоторые свойства симплексов. Симплекс для р переменных — это многогранник в р-мерном пространстве (гиперпространстве), имеюш,ий р + 1 вершину, образованную пересечением р гиперплоскостей. Примером симплекса в пространстве двух переменных является треугольник, в трехмерном — тетраэдр. [c.34] Симплексный метод поиска экстремума является одним из универсальных методов. На его применении основаны различные модификации симплексного планирования [6]. Обш,им для всех модификаций является следующее. Сначала находят значение у в точках (наборах. .., х ), определяющих вершины симплекса. Определив вершину с наихудшим значением г/, заменяют ее симметричной относительно противоположной грани. В новом симплексе, образованном всеми точками старого, за исключением наихудшей вершины, и новой вершиной, вновь выбирают наихудшую точку. Такое постепенное перемещение позволяет передвинуться в область вблизи оптимума. [c.34] Схема движения к экстремуму для функции двух переменных при симплексном поиске показана на рис. 1-3. [c.35] Соотношения (1.23) справедливы как для безразмерных, так и для размерных форм Хр. [c.36] Для числа переменных больше трех (р ] 3) симплексом может быть любое сочетание р +1 переменных. В частности, в качестве симплексов можно использовать ПФП и ДР. Для случая, когда центр тяжести точек матрицы находится в начале координат, матрица симплексного планирования для семи переменных может иметь вид, представленный в табл. 1-6 [7, 9]. [c.36] Удобство этой матрицы заключается в том, что из нее можно получить новую матрицу меньшей размерности (р), содержащую р первых столбцов к р + 1 строк основной матрицы. В табл. 1-6 пунктиром выделена симплекс-матрица для пяти переменных. [c.36] При симплексном поиске не всегда удается определить положение истинного экстремума, а лишь попасть в околоэкстре-мальную область или на гребень функции. [c.37] В работе [8] сопоставлены два метода поиска экстремума — градиентный на основе факторного планирования и симплексный. Был осуществлен поиск максимального выхода для химического процесса, на который влияли две переменных температура и время. Результаты показали следующее. [c.37] Если опыты полного факторного эксперимента не дублировать, то для нахождения наилучшей точки потребовалось бы семь опытов. По симплексному методу наилучшую точку находят после шести опытов. Примерно одинаковое число опытов пришлось бы поставить при поиске оптимума этими двумя методами и в случае трех переменных, если не дублировать опыты факторного эксперимента. [c.37] Существенно, однако, что если есть взаимодействие между факторами (в качестве входных выбраны влияющие друг на друга переменные), то при факторном планировании возможна ошибка в выборе направления градиента. Поскольку при симплексном планировании направление движения все время меняется, оно в этом случае может оказаться более эффективным. [c.37] Для обработки результатов реализации планов со столь небольшим числом опытов можно использовать общие соотношения (см. с. 24—26). [c.39] Эти опыты располагаются (при геометрической аналогии) в вершинах гиперкуба, в центрах граней, в серединах ребер разумеется, при этом все ж, являются безразмерными. Такой план даже для трех факторов содержит 26 опытов, и его реализация неудобна для экспериментатора. Поэтому предпринят ряд попыток сократить число опытов / -оптимального плана. В работах Коно [9,101 предложено построение планов, близких к 1)-опти-мальным, в которых вместо [р (р—1)/2]2р 2 опытов в серединах граней ставится один опыт в центре куба. Понятно, что при р= 2 план Коно и ортогональный план совпадают геометрическое изображение плана Коно для двух факторов можно представить набором из девяти точек (2 + 2-2 + 1), расположенных симметрично относительно осей координат и с центром координат вЧочке (0,0). Набор из 9 точек образует квадрат, центр которого расположен в точке (0,0), а сторона равна двум. [c.39] Хартли [10] предложил наиболее компактные планы и в то же время близкие по свойствам к / -оптимальным планам. В планах Хартли опыты ставятся в вершинах гиперкуба (ПФП или ДР) и в его центре, а также исследуются звездные точки с плечом 1. Эти планы содержат п = (1 /г)2р -Ь 2р 1 опытов (где г — степень дробности ДР). [c.39] Вернуться к основной статье