ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгоритм выбора размера шага в процедуре интегрирования по методу дифференциальной гомотопии из "Основы конструирования и проектирования промышленных аппаратов" На рис. 5.7 показано решение первичной подсистемы (шаг О и шаг 1) в блочном уменьшении по строкам для решения фундаментальной линейной системы. Шаг 1 делится на три части. [c.256] Матрица вверху рис. 5.7 является обобщением Якобиана (рис. 5.6), расширенного правой частью системы (В-вектор). Алгоритм состоит в том, что после L - 1 шагов фундаментальная матрица замещается тождеством - единичной диагональной матрицей, а вектор правых частей - решением системы. Элементарное действие над строкой, производимое для расширенной матрицы, эквивалентно умножению обеих частей уравнения на такую же элементарную матрицу. [c.258] Теперь обозначим строки 1 и 2 как единую блочную строку, которая будет включена в операции над строкой 3 на шагах 2а, 2Ь, 2с (не показано на рис. 5.7). После Ь - 1 таких шагов решение фундаментальной системы занимает пространство, первоначально занимаемое матрицей В. Число требуемых операций для данного алгоритма такое же, как для блочного гауссовского исключения (меньше, чем требуется для блочного гауссо-жордановского исключения), однако в данном алгоритме неявная блочная обратная подстановка дает возможность использовать меньшие объемы памяти. [c.259] Решение первичной подсистемы (шаг 0) находится решением независимых вторичных подсистем (БТДФ), каждая из которых решается методом блочного гауссовского исключения полностью до перехода к следующей подсистеме. [c.259] Р-матрицы, появляющиеся в стандартном блочном гауссовском исключении (алгоритм Томаса), являются решениями третичных линейных подсистем. Они должны быть сохранены для обратной подстановки при решении вторичных линейных подсистем, однако, как только одна из вторичных подсистем решена, память может быть освобождена. Следовательно, если число В-матриц на диагонали наибольшей БТДФ есть р, число ячеек памяти, которое должно быть выделено для матрицы вторичной подсистемы, есть (р - 1) кЬ (где к= 2С + I - размерность матрицы В I - число ненулевых столбцов в С-матрицах). Матрицы правых частей вторичных подсистем на рис. 5.6 имеют либо ненулевые младшие элементы, либо ненулевые старшие элементы, либо не имеют ненулевых элементов. Для снижения количества расчетов каждая вторичная подсистема может быть уменьшена по строкам сверху вниз или снизу вверх, в зависимости от того, имеет ли правосторонняя матрица младшие или старшие ненулевые разряды. Если матрица правых частей не имеет ненулевых элементов, экономия в расчетах нереализуема. [c.259] При решении вторичных линейных подсистем ошибки, воз-никаюшие в решении третичных подсистем, включающих первую В-матрицу на диагонали, увеличиваются к концу первой подстановки (если используется стандартное исключение Гаусса сверху вниз), но не далее. Следовательно, чем меньше число третичных подсистем, тем более стабильны расчеты. [c.260] Таким образом, можно заключить, что в разработанном алгоритме перемещение дисперсных элементов в окаймление позволяет его оптимизировать во всех отношениях без дополнительных затрат. Разработанный алгоритм блочно-построчного исключения с шагом неявной блочной обратной подстановки для решения задачи линеаризации системы разделения минимизирует требуемые объемы памяти ЭВМ и позволяет снизить накапливаемые ошибки усечения. [c.260] Кроме того, сравнительный анализ эффективности предложенного алгоритма с существующими аналогичными ему алгоритмами показал, что смещение блочных дисперсных элементов к правому и нижнему окаймлениям позволяет оптимизировать алгоритм во всех отношениях. [c.260] Численные методы для решения систем нелинейных уравнений щироко известны и подробно описаны в литературе. Традиционно задачи разделения решаются методом Ньютона или его комбинацией с методом крутого спуска, которые требуют хорошего начального приближения. Во всех тех случаях, когда имеется хороший вектор начальных приближений, что типично для простой задачи разделения, метод Ньютона позволяет найти решение с квадратичной скоростью сходимости. В случаях, когда метод Ньютона не работает, он модифицируется для снижения количества расчетов, однако модифицированный метод Ньютона не всегда работает. [c.261] С развитием вычислительной математики в последние годы появились устойчивые и эффективно работающие (сходящиеся) методы - это методы, основанные на теории гомотопии. [c.261] Поскольку нас интересуют точные методы, офаничимся при рассмотрении методами Ньютона и гомотопии. [c.261] Начальные приближения систем разделения. Для задач, аналогичных задаче разделения, возможна разработка обоснованного, хорошего вектора начальных приближений, необходимого для устойчивой работы метода Ньютона, его модификаций или любого другого метода. Это может быть сделано посредством канонической процедуры, позволяющей с достаточной точностью сравнить работоспособность различных методов, и, следовательно, может быть строго оценена трудность решения задач различными методами. [c.261] Для решения покомпонентного материального баланса применяются те же алгоритмы, что и при решении задачи линеаризации, однако здесь элементы являются скалярными величинами, а не матрицами размерностью (2С + I) х (2С + 1). [c.262] В последнюю очередь рассчитывают приближенные оценки нестандартных неизвестных. Например, начальное приближение для 84 на рис. 5.5 находится делением 8414, которое регламентировано величиной 4, полученной с помощью интерполяции. [c.262] В своих работах Рафсон цитирует Ньютона, который использует аналогичный метод для решения уравнения Кеплера. Это и есть метод Ньютона - Рафсона, который часто называют просто методом Ньютона, поскольку мы не знаем, кто первый применил метод к решению систем нелинейных уравнений. [c.262] Алгоритм одновременной коррекции системы уравнений подходит для всех типов задач многокомпонентного многостадийного разделения в отдельной колонне. В случае взаимосвязанных колонн решение математического описания всех колонн одновременно предпочтительнее последовательного модульноитерационного подхода, когда алгоритм одновременной коррекции используется для каждой из колонн. Наши собственные исследования по решению задач разделения показывают, что итерации по колоннам несравнимо хуже, чем одновременное решение всех уравнений математического описания взаимосвязанной системы. Если же спецификации не содержат информации о разрывных потоках, то трудности итерационного расчета по колоннам будут увеличиваться. [c.263] Поэтому мы использовали метод Ньютона с линейным поиском для решения математического описания всей взаимосвязанной системы разделения как первый из методов в семействе рекомендуемых для применения. Функции офаничений использовались при выходе неизвестных за фаницу реальных физикохимических величин. Если же метод Ньютона сходится медленно или не работает, нами использовались методы дифференциальной гомотопии. [c.263] Решение задачи разделения методами гомотошш. Методы гомотопии, как один из разделов теории топологии, широко применяются для решения систем нелинейных уравнений. Однако в химической технологии они пока еще не нашли широкого применения из-за их математической сложности. [c.263] Если основываться на некоторых нестрогих офаничениях, почти всегда встречающихся на практике, можно получить одномерный континуум Г решений уравнения гомотопии (Г -траектория гомотопии), который связывает известное решение g(x] = О с искомым / х = 0. [c.263] Функции выпуклой линейной гомотопии. Следует отметить, что эффективность решения системы (5.8) в значительной мере зависит от вида функции дс . [c.264] Вернуться к основной статье