ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Параметрическая идентификация моделей из "Математическое моделирование основных процессов химических производств" Применение методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров. Построенные с помощью экспериментального либо экспериментально-аналитического метода математические модели содержат неизвестные константы (параметры), значения которых определяются по экспериментальным данным. Если используемые модели линейны относительно искомых параметров, то задача их оценки сравнительно легко решается методами линейного регрессионного анализа и, в частности, л егодол наименьших квадратов. [c.31] Оценка неизвестных параметров в методе наименьших квадратов производится с помощью минимизации суммы квадратов рассогласований. Такой подход во многих важных ситуациях приводит к оценкам, обладающим важными свойствами оптимальности. [c.31] Схему наблюдений (2.34) назьшают линейной моделью. Эту модель удобно записать в матричной форме. Пусть у - вектор-столиц наблюдений Л - прямоуго п.ная (п х р)-матрица коэффициентов в - вектор-столбец параметров е - вектор-столбец ошибок, т.е. [c.32] Между случайными величинами обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохдсгаческгой. [c.33] Последняя величина назьшается ковариацией случайных величин X и и обозначается соУ ,. [c.34] Матрица в правой части последнего уравнения назьшается дисперсионно-ковариационной матрицей. Ее диагональные элементы представляют собой дисперсии случайных величин, а недиагональные — ковариации соответствующих случайных величин, определяющие статистическую зависимость между ними. [c.34] Рассмотрим сначала однооткликовые модели, т.е. модели с одной выходной переменной. При оценке неизвестных параметров моделей очень часто используется метод максимального правдоподобия, предложенный Р. Фишером и являющийся основой многих процедур проверки гипотез и доверительного интервального оценивания для больших выборок. [c.34] Суть метода, максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров в = (di, в2,. .., вр) берут такие значения 6i, в2, др, при которых/д достигает наибольшего возможного значения. Так как In/j, достигает максимума при тех же значениях O, что и сама/д, то на практике часто удобнее использовать функцию ln/ = L, котор) ю можно назьшать логарифмической функцией правдоподобия. Значения 81,82,. .., Вр являются функциями выборки Xi, Х2,. .., х и назьшаются оценками максимального правдоподобия. [c.34] При практическом использовании метода максимального правдоподобия обьмно предполагается известным вид плотности распределения ошибок наблюдений, причем наряду с неизвестными параметрами моделей могут быть оценены и неизвестные параметры плотности распределения. [c.35] Пусть поставлены и опытов. Обозначим че ез p(e , 4/) плотность распределения случайной величины через р(е, ф) - совместную плотность распределения случайного вектора е = (ei, Са,. .., е ) , где - вектор параметров плотности распределения, содержащий, в частности, для нормальной плотности величины математического ожидания и дисперсии воспроизводимости. . [c.35] Отметим, что при нормально распределенных ошибках наблюдений оценки параметров 0/, найденные методом максимального правдоподобия и методом наименьших квадратов, совпадают и поэтому они обладают общими оптимальными свойствами. [c.36] Если матрица S - диагольная, то Sp (2 Ы 0 )) представляет собой взвешенную сумму квадратов остатков. Очевидно, что при Q = 1 выражение (2.68) совпадаете (2.63). [c.37] Иитсрвальные оценки параметров. Вьпие говорилось о точечных оценках искомых параметров моделей, полученных методом максимального правдоподобия. Последние, хотя и обладают некоторыми оптимальными асимптотическими свойствами, но не обеспечивают важную дополнительную информацию о точности определяемых оценок и о мере нелинейности модели особенно в малых выборках. Такую информацию содержат характеристики доверительных областей. [c.37] Рассмотрим сначала случай, когда одель f(x, в) является линейной функцией параметров (т.е./(л , 0) =хв). Оценки максимального правдоподобия f здесь являются наилучшими линейными несмещенными оценками и точные доверительные области могут быть построены с использованием декомпозиции суммы квадратов на остаточную сумму квадратов res(e) и сумму квадартов, обусловленную регрессией reg(e), т.е. [c.38] В случае достаточности оценки остаточная сумма квадратов не зависит от а зависит только от д и 7. [c.38] Таким образом, в общем случае для нелинейно параметризованных моделей большая часть результатов, получеш1ых для линейных моделей, неприменима. В самом деле, даже если ошибка измерений нормальна, вектор параметров может не быть нормально распределенной величиной. [c.39] res(e)/(n - р) = res(y - f0)) (n - р) = 5 необязательно является несмещенной оценкой а . Более того, дисперсионно-ковариационная матрица оценок вектора параметров t может существенно отличаться от матрицы ( ) . [c.39] Все же в большинстве случаев оценивание параметров в нелинейных моделях проводится по небольшим совокупностям экспериментальных данных и поэтому результаты асимптотической теории мапопригодкы на практике. [c.40] Построение доверительных интервалов параметров нелинейных моделей может проводиться с учетом степега нелинейности модели. Мера, учитывающая степень нелинейности f(x, в), позволяет установить, дг я каких нелинейно параметризованных моделей f(x, в) без заметных погрешностей можно построить доверительные области, используя вместо f (х, в) линеаризованные модели. Однако при величинах меры нелинейности, больших единицы, данный метод построения доверительных областей становится уже непригодным. [c.40] Вернуться к основной статье