ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, МОДЕЛИРУЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ из "Устойчивость химических реакторов" Как мы уже видели, геометрические построения, связанные с анализом по Ляпунову, основаны на отыскании таких контуров, которые служат пределами возможных траекторий. Задача нахождения функции Ляпунова осложняется требованием замкнутости контуров. [c.103] Ласалль и Лефшетц (1961 г.) предложили в некоторых случаях формировать желаемый закрытый контур, соединяя вместе несколько функций, каждая из которых применима в одной части фазовой плоскости. [c.103] Парадис (1966 г.) показал удобство объединения сегментов прямой линии в замкнутые многоугольные контуры. В результате единственная функция Ляпунова заменяется несколькими направляющими функциями, которые совместно дают необходимую информацию об устойчивости. [c.103] Комбинированный рис. V-12 показывает, как две направляющие функции могут дополнять друг друга, разделяя плоскость на четыре области, каждая из которых дает свои границы движения траектории. Значок угол со стрелкой в каждой области указывает спектр возможных направлений движения. Остается только наложить на рис. V-12 закрытый многоугольный контур, как это показано на рис. V-13. [c.105] Последний рисунок построен следующим образом. Начиная от произвольной точки А в области IV, линии проводятся по двум направляющим функциям (как показано значком угол со стрелкой ) и заканчиваются в точках В и D, которые тоже произвольны, но должны находиться на удобном расстоянии и в соответствующих областях I и III. Точка С замыкает параллелограмм AB D. Она располагается в еще незанятой области II. Если направление движения ограничено каждой областью, то ни одна траектория, возникающая внутри параллелограмма, не должна выходить за его пределы. Таким образом, AB D будет областью практической устойчивости, если ее очертания находятся в практически допустимой области значений фазовых переменных Xi и х .. [c.105] Определенная произвольность размещения точек AB D удобна для инженера, так как он может в щироких пределах изменять размеры и форму параллелограмма. Далее, инженер может изменять форму области практической устойчивости, как это, например, показано внутренними линиями на рис. V-13. В последнем случае линии EF, FG и GH ограничиваются геометрическим местом = О, и все прямые параллельны сторонам параллелограмма. Линия AEFGHIA ограничивает область, которую траектории не могут покинуть по тем же причинам, что были изложены выше. [c.105] Области практической устойчивости (гипотетический случай). [c.105] Пример У-6. Использовать направляющую функцию, чтобы установить область практической устойчивости системы, рассмотренной в примере У-2. [c.106] Можно заметить, что геометрическое место Ед = О есть прямая линия. Это не играет существенной роли, нО в данном случае облегчает графическое построение. Результат показан на рис. У-15. Обратим внимание на затемненную область между з = О и кривой 1. Вследствие введения третьей направляющей функции траектории в этой области ограничены теперь так, что не пересекут линии с наклоном —1. В результате можно образовать большую область, очерченную ломанной линией (или другие области сравнимой величины). Прочие преимущества направляющей функции Ед были рассмотрены Сабо и Драновым (1966 г.). [c.107] В задаче с двумя пространственными измерениями неравенство (V, 39) представляет область на фазовой плоскости х , х . Она схематично показана затемненной частью рис. У-16, где представлено также семейство окружностей х е, соответствующее евклидовой норме изучаемой функции. [c.108] Отсюда можно сразу заключить, что с 1 и, как следствие, б 8, т. е. б круг обязательно равен 8-области или меньше ее. В результате эти построения отвечают всем требованиям вывода основной теоремы линеаризации и гарантируют, что траектории, начинающиеся в б, будут, как показывает уравнение (IV, 32), ограничены. [c.108] При изучении устойчивости в численном отношении полезны некоторые рекомендации для выбора значений ц, с и е. Чтобы найти наибольшую область, необходимо, как показывает уравнение (V, 39), увеличить ц/с и 8 до максимума. Однако 8-круг на рис. У-16 должен оставаться в затемненной области. Графически для этого достаточно найти наибольшую окружность, касающуюся границ затемненной области. Вычисление наибольшего значения ц/с уже было приведено в примере 111-1. [c.108] Несколько примеров такого подхода к расчету химических реакторов было разработано Гура. Приводим один из них. [c.108] Серии других результатов для различных норм и порядков реакции даны в цитируемом источнике. [c.110] Из бесконечного числа экспонент, удовлетворяющих (V,45), желательно выбрать ту, которая подходит к и-кривой наиболее близко. Это достигается путем увеличения ц до некоторого максимума. [c.111] Принять кинетику обратимой реакции первого порядка (q/V =1, ki = 2, 2= 1. У = 2). [c.111] О качестве системы можно сказать следующее. Функцня о будет затухать со временем столь же быстро, как и ехр (—/), но не быстрее, чем ехр (—11 /). Конкретная траектория еще неизвестна, но уже ясно, что значения V будут ограничены затемненной областью на рис. У-19. [c.113] Очевидно, значение % зависит от и-функций в той же мере, как и сама система. В данном случае о-функция (б) лучше круговой у-функции (а), так как она затухает вдоль траекторий системы быстрее, чем круговая функция (а). [c.113] Вернуться к основной статье