ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычислительные аспекты определения производных из "Методы оптимизации химических реакторов" Рассмотрим подробно вычислительную процедуру определения производных (IV, 12) при применении указанных методов. Попутно сравним данные методы друг с другом и с методом вычисления производных (IV,12) по соответствующим разностям с точки зрения удобства программирования, требумой памяти и количества операций при их реализации на вычислительных цифровых машинах. Не ограничивая общности выводов, сравнение проведем на примере вычисления производных (IV,45). [c.121] Обозначим количество шагов интегрирования через К и количество операций для вычисления правых частей уравнений (IV,16) при данном г через Ь. Тогда количество операций для вычисления производных (IV,45) составит Д = (Nг+1)1,й . [c.122] Величины (г = О, 1,. . ., и / = О, 1,. . ., и) в каждой точке подсчитываются как элементы матрицы р, обратной к матрице а. [c.122] Оценим количество операций, требуемое при использовании данного метода. Для интегрирования системы (1У,16) потребуется К операций. Поскольку система (IV,25) интегрируется одновременно для (п- -1)-ой совокупности начальных условий, то вычисленные для какого-то момента Означения коэффициентов дfJдxJ (г = О, 1,. . ., и / = О, 1,. . ., и) этой системы используются для всех м-Ь 1-го решения. [c.122] Вычислительная процедура по второму методу, использующему формулу (IV,73), выглядит следующим образом. Решаем систему (IV,16) с начальными условиями (IV,13) при и = [и У от г — о до г = др и запоминаем на каждом шаге интегрирования вычисленные значения х,. (г), где г = О, 1,. . ., и. Всего придется запомнить пК данных. [c.123] Из сравнения 1 и /а видно, что при применении формулы (IV,73) с использованием решения сопряженной системы уравнений (IV,37) количество операций меньше, чем при применении формулы (IV,72) с использованием фундаментальной системы решений уравнений (IV,25). Однако в случае сложных систем, когда М п, число 1 12 и эффективность указанных методов ио скорости счета практически одинакова. [c.124] Оценим теперь эти методы с точки зрения требуемой памяти машины. При применении метода с использованием формулы (IV,72) приходится запоминать Л г(п4-1) величин а , а нри применении метода с использован1гем формулы (IV,73) -- К (л + 1) величин x ((), где г = О, 1, п. Отсюда вычислительная процедура по первому методу требует меньшего объема памяти машины при Мг К. [c.124] Необходимо отметить, что обычно Мг значительно меньше, чем К. Поэтому по сравнению с методом, применяющим формулу (IV,73), метод с использованием формулы (IV,72) в большинстве случаев требует значительно меньшего объема памяти машины (в том виде, конечно, в каком он был здесь описан далее рассмотрены иные варианты этого метода с другими требованиями к памяти машины). [c.124] При оценке числа /а, характеризующего число операций при нрименепци метода, использующего формулу (IV,72), мы не учитывали того, что система уравнений (IV,16) интегрируется одновременно с системой (IV,25), а это также позволяет в ряде случаев уменьшить количество вычислений. Действительно, некоторые выражения будут входить как в систему (IV, 16), так и в систему (IV,25), например экспоненциальные функции. Поэтому вычисленные один раз они будут использоваться в обеих системах. [c.124] Совершенно очевидно, что количество операций при применении этого варианта метода возрастет, поскольку система (IV,16) интегрируется дважды ( вперед и шазад ), но зато количество запоминаемых данных будет мало. Правда, при работе по данному варианту могут встретиться трудности, связанные с неустойчивостью решения при интегрировании системы (IV,16) назад решение может стать чрезвычайно чувствительным ко всяким погрешностям счета. Это очень сильно в ряде случаев тормозит практическую реализацию указанного варианта. [c.125] Таким образом, алгоритм расчета будет следующим. Решаем систему уравнений (IV,16) для п- -2)-х совокупностей начальных условий (IV,125) и (IV, 126) при А = О, 1,. . ., га. В каждый момент времени I образуем функции Ьх (г)д., используемые в качестве функций в формуле (IV,72). [c.126] Вернуться к основной статье