ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Марковские процессы. Уравнение Фоккера — Планка из "Методы физико-химической кинетики" В физико-химической кинетике часто приходится иметь дело с системами, состояние которых изменяется со временем случайным образом. Простейшим примером таких систем являются молекулы или взвешенные частицы, находящиеся в тепловом движении. Это тепловое движение приводит к диффузии частиц. Рассмотрим поэтому феноменологическую теорию диффузии и прежде всего получим уравнение диффузии и его решения для некоторых важных случаев. [c.7] Коэффициент диффузии может зависеть, вообще говоря, как от координаты, так и от концентрации и имеет размерность (длипа время). Во многих случаях коэффициент диффузии можно считать не зависящим от концентрации. Знак минус в уравнении (1.1) показывает, что вещество диффундирует в обратном направлении по отношению к направлению роста концентрации. [c.7] Таким образом, уравнение (1,5) позволяет определить коэффициент диффузии частиц по их подвижности. [c.8] При решении этого уравнения должны быть учтены начальные и граничные условия, соответствующие рассматриваемой задаче. [c.8] Положим теперь, что диффузия веш,ества происходит в какой-либо конечной области пространства. В этом случае следует указать, какие условия в соответствии с физической постановкой задачи нужно наложить на концентрацию или ее производные на границах данной области. Пусть, например, эта область ограничена поверхностью (например, стенкой сосуда), отражающей попадающие на нее частицы. На этой поверхности поток / должен равняться О, т. е. [c.9] С таким граничным условием мы будем иметь дело в главе III. [c.9] Как оказалось, уравнения типа (1.7) применимы не только для рассмотрения процессов диффузии, но и для решения некоторых задач физико-химической кинетики. Эти уравнения описывают большое число процессов, называемых марковскими. [c.10] Опишем состояние системы совокупностью переменных случайных величин х = хи Жг,. .., ж . В частном случае, как мы уже говорили, под системой можно подразумевать броуновскую частицу или молекулу, а под ж — ее координату, скорость, а также случайный заряд частицы или размер маленькой капли, которая случайным образом растет или испаряется в атмосфере своего пара и т. п. Пусть переменная х с течением времени последовательно принимает различные значения. Если эти последовательные значения х вообще не связаны друг с другом, т. е. не коррелируют, то процесс называют чисто стохастическим. Примером может служить последовательность появления разных сторон при выбрасывании монеты. [c.10] В более сложных случаях наблюдается корреляция между двумя последовательными событиями. Это — так называемый марковский процесс (по имени известного русского математика А. А. Маркова, см., например, [3]). Для этого процесса вероятность того или иного состояния в будущий момент времени зависит только от состояния в данный момент времени и не зависит от того, какие состояния система имела в прошлом. Примером марковского процесса может служить броуновское движение частиц если мы знаем координату частицы, взвешенной в жидкости, в момент времени to, то можем предсказать вероятность ее местопребывания в определенной точке пространства в любой последующий момент времени. [c.10] Пример иного рода мы будем иметь, если рассмотрим процесс поглощения пара частицей сорбента при ее случайном движении в объеме с переменной концентрацией пара. Скорость поглощения пара зависит не только от количества сорбированного пара и его концентрации, но и от распределения поглощенного вещества по объему частицы, которое зависит от траектории движения частицы в предшествующие моменты времени. [c.10] Действительно, вероятность перехода за время (i + — о) из состояния а о в состояния, лежащие в интервале (ж, х + dx), равна сумме произведений вероятностей перехода за промежуток времени — дизжов любое состояние (г, z + dz) и из него за промежуток времени т в состояния, лежащие в интервале х, х -j- dx). [c.11] Полученное уравнение носит название уравнения Фоккера — Планка или Эйнштейна — Фоккера. Это уравнение может быть распространено на систему со многими переменными 14]. [c.12] Таким образом, в отсутствие внешних сил отличие средней скорости смеп1,ения от нуля вызвано неоднородностью среды, приводящей к зависимости коэффициента диффузии от координаты. [c.13] Вернуться к основной статье