ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Области, ограниченные из "Устойчивость химических реакторов" Из четырех условий (IV. П), которые подтверждают, что выбранная V является функцией Ляпунова, точность третьего условия (IV, Пв) обычно очень трудно доказать. Для некоторых задач V (х) будет отрицательно-определенной в некотором диапазоне х, но не для всех значений х. Это является доказательством устойчивости в малом, если стационарное состояние находится внутри приемлемой области, определенной условием и (х) О, но не на границе этой области. Указанное ограничение, накладываемое на V, может служить также для определения области асимптотической устойчивости, но достаточно ли велика будет эта область для инженерных целей, зависит исключительно от физической сущности задачи и численных значений используемых при этом величин. [c.92] Любая и-окружность, полностью помещающаяся в области у О, будет областью асимптотической устойчивости, а наибольшая область асимптотической устойчивости находится как окружность, расположенная касательно к кривой у = 0. Точки касания имеют координаты х, = 1,86 и Ха = +0,95 для окружности радиусом 2,09. Важно отметить, что любая область за пределами этой окружности не может быть определенно частью области асимптотической устойчивости, хотя траектории в подобной области могут двигаться в направлении уменьшающейся у. Пока еще нет уверенности в том, что ни одна из траекторий не попадет в запрещенную область у 0. Читатель должен убедиться, что траектория, начинающаяся в точке А на рис. У-2, например, могла бы двигаться к меньшим у-окружностям и даже войти в область у 0. Если бы это произошло, то траектория начала бы двигаться от начала координат, удаляясь от него как угодно далеко. [c.93] Если у положительно-определенна и у отрицательно-определенна для всех х, то система устойчива в целом и не нужно ограничивать размер допустимых областей, очерченных контурами v = onst. Здесь нет противоречия, так как результат анализа Ляпунова зависит от выбранной у-функции. Другими словами, этот способ дает достаточные, но не необходимые условия устойчивости. В рассматриваемой задаче любая траектория, начинающаяся внутри окружности, касающейся кривой у = О, должна быть асимптотически устойчива при стационарном состоянии в начале координат. Однако, как показывает вторая у-функцня, траектории необязательно только устойчивы. [c.93] Как и в предыдущем примере, полезно использовать у = О, чтобы разделить фазовую плоскость на области положительной и отрицательной и. Необходимо сделать конкретный выбор выражения для скорости реакции г (х,, х ) и других параметров. Используем кинетическое уравнение (1.66). Числовые значения, предложенные Бергером и Перлмуттером (см. пример П-З), соответствуют системе с единственным стационарным состоянием при s = 0,165 фунт-моль/фут , = 550 R. Приравнивая к нулю правую часть (V.6), получим квадратное урявнение, определяющее кривую V = О, которая показана на рис. V-3. Таким образом, область асимптотической устойчивости существует внутри любой окружности, которая не попадает в затемненную область и 0. Наибольшая из таких окружностей приведена на рис. V-3. Из этого рисунка следует, что с точки зрения устойчивости вполне допустимо мгновенное увеличение температуры приблизительно на 20° F. Является ли такое отклонение приемлемым и следует ли анализировать влияние других факторов, которые здесь не рассматривались, должен решать инженер. [c.94] При сравнении становится ясно, что новое определение позволяет приблизительно утроить диапазон возмущений, для которого удается доказать асимптотическую устойчивость. [c.94] Вероятно, читатель ожидает, что другой выбор матрицы Р не окажется столь удачным, как предыдущий. Например, для любой матрицы Р, имеющей недиаго-налыше элементы, равные +1, кривая у=0 пройдет через начало координат. В таком случае невозможно найти какой-либо у-эллипс, не попадающий в область, для которой и 0. Однако, как отмечалось выше, неудачный выбор и-функции не должен привести к заключению, что система неустойчива. Фактически, рассматриваемая модель реактора имеет только одно стационарное состояние, к которому асимптотически приближаются траектории, проведенные из любого начального состояния на плоскости (х,, Дальнейшее изучение этих вопросов можно найти в работе Вардена, Ариса и Амундсона (1964 г.). [c.95] Прежде чем закончить разговор о кривых и = О, мы хотим предостеречь читателя в следующем отношении. Так как начало координат обычно является изолированным решением уравнения I = О, то при поверхностном алгебраическом исследовании может показаться, что кривая у = О проходит через начало координат даже тогда, когда на самом деле этого нет. Применяя такое неверное рассуждение, можно преждевременно отвергнуть вполне удовлетворительные и-функции, приведенные в последнем примере. [c.95] Вернуться к основной статье