ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Функция Грина для кристалла с точечными дефектами из "Физическая механика реальных кристаллов" В скалярной модели упрощение формулы (12.50) незначительно — оно сводится к исчезновению координатных индексов t, k, I. [c.213] Ранее ( 1, п. 8) было отмечено, что полюсы функции Грина как функции переменной е определяют квадраты собственных частот колебаний соответствующей системы. Согласно (12.50) функция Грина для кристалла с точечным дефектом может обладать дополнительным полюсом в точке, где имеет нуль функция D (е), т. е. при тех значениях 8, которые находятся из уравнения D (е) = = О, совпадающего с (12.11). Следовательно, дополнительные (по отношению к функции Грина идеального кристалла) полюсы функции Грина определяют рассмотренные в предыдущих пунктах частоты локальных колебаний кристалла с дефектом. [c.213] Замечательной особенностью переноса возбуждения через дефект, обладающий локальной частотой, является резонансный характер процесса. Выведя формулу (12.18), мы показали, что при значениях параметра е, лежащих вне полосы квадратов собственных частот идеального кристалла, функция Грина Ов (п) экспоненциально убывает с расстоянием. Поэтому при частотах, близких к дискретной локальной частоте, на больших расстояниях (г (п — п ) /) первое слагаемое в (12.50) становится исчезающе малым. Второе слагаемое обладает резонансным знаменателем В (е) и при в е может значительно превышать первое слагаемое. Следовательно, если в кристалле имеется дефект с дискретной частотой в запрещенной полосе частот идеальной решетки, то он способствует резонансной передаче возбуждений на большие расстояния. Однако второе слагаемое в (12.50) также исчезает в пределе п — п 1 оо при любом конечном В (в). Ситуация могла бы измениться, только если бы мы перешли от кристалла с одним дефектом к кристаллу с малой, но конечной концентрацией дефектов. Эту проблему мы кратко обсудим в следующем параграфе, а сейчас выясним, можно ли использовать изложенный выше метод для нахождения функции Грина в кристалле с системой точечных дефектов. [c.214] К сожалению, связь матрицы Т с матрицей и, устанавливаемая формулой (12.46), нелинейна, и вклады отдельных дефектов не могут просто суммироваться в выражении типа (12.50). Но решение, обобщающее (12.50), можно указать и в этом случае. [c.214] Уравнения (12.53) достаточно просты, но запись их решения для произвольного числа дефектов очень громоздка, а количественный анализ затруднен. Поэтому в общем случае мы ограничимся качественной характеристикой функции Грина (12.54). [c.215] Если дефекты распределены случайно, но в среднем однородно, то (12.56) является приближенным выражением для функции Грина, справедливым в предположении, что средние расстояния между дефектами значительно превышают длину/. Выражение (12.56), безусловно, не применимо вблизи границ непрерывного спектра идеального кристалла и в непосредственной окрестности локальной частоты. [c.215] Возвращаясь к анализу рис. 74, мы видим, что выражение (12.56) учитывает передачу возбуждения от узла п к узлу п путем однократного использования всех дефектов. Эта ситуация напоминает кинематическую теорию рассеяния рентгеновских лучей, учитывающую лишь однократное рассеяние Х-лучей на каждом из атомов кристалла. Но при наличии даже двух дефектов (в узлах и Пз) существует канал передачи возбуждения (п - Па - п), не учитываемый выражением (12.56) и изображенный на рис. 75. [c.216] Будем воспринимать выражение (12.59) как начало некоторого бесконечного ряда метода последовательных приближений. Структура слагаемых разного порядка приближения в (12.59) такова, что легко увидеть возможность построения функции Грина О (п, п ) с помощью простой диаграммной техники. Правило построения всего ряда сводится к следующему. Узлы пип соединяются всевозможными лучами, изламывающимися на дефектах (простейшие из них изображены на рис. 74 и 75), Каждый луч, исходя из точки п, не возвращается больше к ней и приходит в точку п, не выходя больше из нее. Что же касается точек расположения дефектов, то луч может возвращаться к ним многократно. Число изломов луча определяет порядок слагаемого в разложении типа (12.59). Каждому сегменту луча Пар в соответствующем слагаемом сопоставляется множитель С (Пар), а каждому дефекту — множитель и О (е). После суммирования по всем лучам мы получим искомую функцию Грина. [c.216] Таким образом, в кристалле с двумя далеко разнесенными изотоп-дефектами вместо отдельной локальной частоты возникает пара частот, слегка смещенных друг относительно друга. По мере сближения дефектов расстояние между парой локальных частот возрастает. И когда расстояние между дефектами сравнивается по порядку величины с длиной /, может оказаться, что 8(-Ь) — е(—)) будет порядка величины отщепления квадрата локальной частоты вд от края непрерывного спектра. В таком случае, начиная с некоторого расстояния между дефектами, одна из дискретных локальных частот может исчезнуть (слиться со сплошным спектром частот идеального кристалла — см. рис. 76). [c.217] НИИ их взаимодействия с остальными дефектами. Запись этой функции служит дополнительным подтверждением резонансного характера передачи возбуждения между дефектами. Но теперь в качестве знаменателя в формуле (12.64) выступает функция Д (е), поэтому резонансные частоты смещены относительно частоты локальных колебаний изолированного дефекта. [c.218] Вернуться к основной статье