ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Необходимые условия экстремума из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости" В вариационной задаче 1 свободна только функция а у). Поэтому удобно рассмофеть (рис. 3.8) плоскость у, а. [c.75] Зависимость а = А(у) на характеристике ае изображается на рис. 3.8 кривой с теми же обозначениями. Выберем на ае, произвольную точку с. Из точки с проведем кривую h на которой da/dl имеет минимальное значение (см. 3.1.3). Эта кривая изображает зависимость а(у) на характеристике h в том случае, когда кривизна образующей ab в точке о равна -оо, то есть, когда контур ab имеет излом [28, 33] в точке а. Течение, которому принадлежит характеристика h, аналогично течению Прандтля—Майера и полностью определяется характеристикой ас и изломом образующей в точке а. В области ah характеристики первого семейства образуют пучок с ценфом в а. Если на всей характеристике h имеет место неравенство 1 - а О, кривая h имеет вид, приведенный на рис. 3.8. [c.75] Принадлежность а[у( )] классу Dj означает, в частности, следующее. Если кривая а(у) совпадает с h, то допустимой является только вариация а 0. Изменение ба О, не может быть обусловлено никаким непрерывным контуром ab. [c.75] Предположим, что кривая hb определяется рещением уравнений Эйлера задачи и дает двусторонний эксфемум. Покажем, что при такой схеме количество произволов в определении функций совпадает с количеством условий. В дальнейшем будет определена область существования решений этого вида (3.3 и 3.4). [c.75] Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета офа-ничений, налагаемых на функции класса dI- Во второй случае искомая функция а у) уже не свободна на участке h. [c.76] Точка h в плоскостях х,у и у, а свободна (задача Больца). Течение в области ah неизменно, произвольным является только выбор фаниц ah и Лс этой области. На участке bh функция а(у) свободна, но принадлежит классу 2- Таким образом, среди концевых значений произвольными являются две координаты точки Л, полностью определяющие область ah. [c.76] Варьирование по направлению характеристики второго семейства проведем для I в форме (2.31). При этом первый член в (2.31) остается неизменным, второй уменьщается на Фнбук2 а третий возрастает на ту же величину, поскольку функция Ф непрерывна при непрерывной зависимости а сп у. [c.77] Конкретный вид величины X для дальнейшего несуществен. Из (2.33) по-прежнему могут быть получены уравнения Эйлера. Они в точности совпадают с (2.28)-(2.30). [c.77] На участке ЬЛ характеристики второго семейства (рис. 3.9) должны выполняться уравнения (2.15), (2.28)-(2.30) при граничных условиях (2.12), (2.18), (2.24), (2.34). [c.78] Равенства (2.28), (2.34), (2.35) являются интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), удовлетворяющим граничным условиям (2.24) при у = Уь VI (2.34) при у = Ун- Равенство (2.28) может быть заменено более простым равенством (2.29) при Х5 у) = 0. [c.79] Эвристические рассуждения, которые привели к этому результату требуют проверки. [c.79] Отсюда видим, что действительно равенство (2.15) или, что то же самое, равенство (1.18) выполняется при v = 0 и v = I. [c.80] Вернуться к основной статье