ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Экспериментальный поиск оптимума из "Введение в моделирование химико технологических процессов Издание 2" Наиболее сложен для оптимизации случай, когда мы не знаем вида целевой функции. В этом случае единственная возможность — находить оптимум экспериментально. Теория планирования эксперимента (раздел 8) включает методы поиска оптимума в качестве своей важнейшей части. [c.271] Мы не будем касаться случая однофакторной оптимизации. В соответствии с содержанием раздела 8, рассмотрим многофакторные задачи. [c.271] В принципе здесь можно применять любой из рассмотренных в разделе 25 методов. Но при этом приходится учитывать ряд дополнительных обстоятельств. [c.271] Во-первых, вследствие наличия случайных ошибок опытные точки нельзя располагать слишком близко одна к другой. В противном случае значения критерия оптимальности, полученные в соседних точках, окажутся неразличимыми различия в величине критерия (малые потому, что точки близки) окажутся значительно меньше уровня ошибки, вследствие чего не удастся опровергнуть гипотезу о равенстве этих значений. [c.272] Во-вторых, в эксперименте гораздо острее, чем в расчете, стоит проблема эффективности поиска. Эксперимент почти всегда дороже, чем единичный расчет целевой функции. Расчетная задача, где приходится 1000 раз считать F, может оказаться не очень большой по объему. Эксперимент же по отыскиванию оптимума, требующий 100 опытов, — уже очень велик. [c.272] В-третьих, при экспериментальной оптимизации характер зависимости F от факторов, как правило, бывает проще, чем при расчетной. Это объясняется тем, что ошибки опытов сглаживают рельеф целевой функции. Таким образом, в эксперименте обычно можно работать с простейшими математическими моделями — чаще всего с многочленами 1-го или 2-го порядков. [c.272] Применительно к планированию эксперимента метод покоординатного спуска обычно называют методом Гаусса — Зайделя. Его главное преимущество — простота. Каждое движение (сканирование) вдоль одной из осей координат означает, что от опыта к опыту изменяется только один фактор, и влияние этого фактора получается в ясной форме однофакторной зависимости. Его недостаток—малая эффективность, присущая однофакторному планированию эксперимента (раздел 8). Поэтому методом Гаусса — Зайделя в эксперименте пользуются редко. [c.272] Казалось бы, отмеченная выше простота математических моделей, встречающихся в экспериментальной оптимизации, открывает еще одну возможность. Опишем целевую функцию многочленом. Ясно, что многочлен 1-й степени не может описать зависимость, имеющую экстремум. Более того, и добавление взаимодействий не позволяет этого сделать. Поэтому используем многочлен 2-й степени. Реализуем в интересующей нас области план 2-го порядка. А получив оценки параметров многочлена, легко отыскать экстремум на основе уравнений (24.1). [c.272] Но такой способ отыскания экстремума оказывается крайне неточным. Исходная область пространства факторов всегда достаточно велика, и в этой большой области описание целевой функции многочленом 2-го порядка неадекватно. Кроме того, экспериментальные точки в этом случае располагаются нерационально в большинстве своем они попадают в части области, далекие от экстремума и поэтому неинтересные для исследователя. [c.272] В плаиировании эксперимента градиентный метод движения к оптимуму называют крутым восхождением. Отличия от метода, описанного в разделе 25, обусловлены ошибками опытов. По этой причине нельзя находить частные производные так, как там указано в формулах (25.8) приращения е должны быть малы при малых расстояниях между точками слишком сильно скажутся ошибки опытов, и оценка направления градиента будет очень сильно отклоняться от истинного направления. [c.273] Здесь т — множитель, регулирующий длину шага шаг должен быть не слишком мал — иначе движение будет очень медленным, но и не слишком велик, а то можно быстро уйти в область, где направление градиента — совсем иное. [c.273] Пример 26.1. Расчет крутого восхождения. [c.273] Выберем т так, чтобы шаг Д по фактору, влияющему сильнее всего, был порядка 6)1 иначе шаги быстро уведут нас слишком далеко от области эксперимента. Примем т=0,2. [c.274] эффективными оказались лишь два шага — видимо, максимум уже близок, и быстро сказалась неадекватность. Различие между шагами 2 и 3 — в пределах ошибки опыта, и в этой области можно ставить дальнейшее исследование. Опыт в точке О не ставился, было принято значение у, рассчитанное по уравнению (8.21). Это так называемый мысленный опыт. [c.274] Пример 26.2. Крутое восхождение при изучении изомеризации. [c.274] По направлению градиента сделано всего три шага, но второй из них дал столь хороший результат, что исследователи решили окончить на этом данный этап рабогы. [c.275] Здесь приведены точки факторного эксперимента и движение по направлению градиента (показано стрелкой). Числа у точек — значения выхода пунктир — ориентировочное положение горизонталей поверхности отклика. [c.275] По-особому выглядит крутое восхождение в промышленном эксперименте [48]. Особенность этого случая — малое расстояние между опытными точками, обусловленное тем, что во избежание появления брака в производственных условиях нельзя сильно изменять режим. Вследствие этого влияние ошибок велико, и все коэффициенты, кроме Ьо, оказываются незначимыми (их значения тонут на фоне шума). В этом случае поступают так. Начинают многократно повторять факторный эксперимент. При этом шум постепенно уменьшается, так как уменьшается дисперсия среднего —см. формулу (5.22). В какой-то момент значение одного (наибольшего по абсолютной величине) коэффициента становится больше уровня шума. Тогда делают один шаг по градиенту. Практически смещают центр плана вдоль соответствующей оси, вокруг него строят новый план, и вся процедура повторяется. [c.275] В методе эволюционного планирования рекомендуется проводить весь технологический процесс в таком режиме многократного повторения факторного плана и сдвига плана по та-диенту. Режим все время покачивается , автоматически приближаясь к оптимуму. Даже если точка оптимума дрейфует , смещается в факторном пространстве вследствие изменения нерегулируемых факторов, режим будет следовать за нею. [c.275] Мне хочется поделиться с Вами, читатель, отдельными мыслями о роли метода математического моделирования и тех требованиях, которые он предъявляет к нам, инженерам. [c.276] Вернуться к основной статье