ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями из "Обнаружение и диагностика неполадок в химических и нефтехимических процессах" По измерениям в переходном режиме в ряде случаев можно определить переменные состояния динамического процесса, в других — лишь параметры. [c.167] При попытках обнаружения неполадок в динамических системах возникают некоторые противоречия. Несомненно, что для выявления неисправности необходима быстрая реакция системы, однако чрезмерно быстрая реакция увеличивает чувствительность процесса к случайным шумовым возмущениям и в результате приводит к многократному появлению ложных сигналов неполадок. Эти противоречия были обсуждены в гл. 4. Аналогичные затруднения вызываются также избыточностью элементов процесса или измерительных приборов. [c.168] Величина е (t) называется ошибкой уравнений или отклонением модели. Разумеется, для того чтобы использовать для диагностики ошибку уравнений, необходимо иметь возможность измерять производные наблюдаемых величин (откликов) наряду с самими этими величинами. Тогда уравнение (5.3.4) можно обрабатывать как алгебраическое уравнение методами, описанными в разделе 5.2, или как это предложено в работе [49]. [c.169] Входные величины и (f) известны и детерминированы, / также является детерминированной переменной. [c.169] Аналитические решения могут быть точными или приближенными. Литературу по специальным методам можно найти в обзоре Ни-мэна и др. [61 ]. [c.170] Вопрос о том, как провести эксперименты, чтобы избежать смещения оценок, предотвратить получение результатов, безразличных к проверяемым гипотезам, и увеличить точность оценок, находится вне рамок нашего рассмотрения, но отнюдь не является маловажным. Техника проведения экспериментов и обработки экспериментальных данных описана в работах [9, 39]. Существенное значение имеют чувствительность параметров (или переменных состояния) к случайным вариациям измеряемых величин, т. е. к шумовому фону. Относительно же экспериментов на промышленных установках можно отметить, что контрольные воздействия искажаются шумовыми влияниями или смешиваются с неконтролируемыми воздействиями. Шумовой фон и возмущения со стороны окружающей среды накладываются на собственный шум процесса и смещают результаты измерений отклика (откликов) системы. Ясно, что модели и методы нахождения оценок, не допускающие совместно таких эффектов, могут способствовать эффективному обнаружению и диагностике неполадок. [c.170] Из-за недостатка места мы не даем здесь детального описания алгоритмов нахождения оценок при использовании обыкновенных дифференциальных уравнений и можем только обобщить некоторые полезные для практики результаты. Последовательное оценивание переменных состояния обычно называют нелинейной фильтрацией (для моделей, нелинейных по переменным состояния), независимо от того, являются ли измерения откликов системы непрерывными или дискретными. Один способ оценивания основан на точных или приближенных уравнениях, которые выводятся с использованием плотности вероятности результатов измерений и теоремы Байеса. [c.170] Многочисленные сравнения разных методов нелинейной фильтрации [35, 44, 66] показали, что расширенный фильтр Калмана с факторизацией ковариационной матрицы ошибок Р = (где — верхняя треугольная матрица, а Б—диагональная матрица) [15] дает наименьшую неустойчивость при числовых расчетах и наибольшую нечувствительность к вариациям принимаемых априори статистик входных возмущений. Фильтр квадратного корня (фильтр Поттера—Шмидта) [16] с Р = 55 (где 5 — квадратная матрица) также является удовлетворительным методом нелинейной фильтрации. [c.171] Тем не менее, 2 и Р могут рассматриваться как полезные аппроксимации искомых точечной и интервальной оценок переменных состояния и параметров. Для выбора начальной степени точности оценок для 2 можно воспользоваться матрицей Ро. Поскольку априорная информация относительного известна лишь в редких случаях, выборов вполне произволен и может оказаться причиной ряда трудностей ввиду того, что от этого выбора зависит длительность определения удовлетворительных оценок. Если используется начальная ковариационная матрица ошибок переменных состояния Ро с большими значениями элементов, то фильтр Калмана дает более крупные приращения, и текущие измерения сильнее влияют на оцениваемые величины. Поэтому процедура фильтрации быстрее сходится к предельным значениям. При очень малых элементах матрицы фильтр Калмана дает очень малые приращения, и процедура фильтрации требует большого времени для достижения конечных оценок. Отметим, что равенство Ро = О означает, что как Хц, так и р известны, и, следовательно, такой простейший выбор матрицы 0 нельзя допускать при оценивании параметров однако если параметры известны, то выбор Ро = О полезен для нахождения оценок переменных состояния. [c.172] Если при фильтрации используется только шумовой фон измерений, т. е. если шум системы (или переменных состояния) отсутствует, так что = О, то из этого следует, что известна точная динамическая модель. К сожалению, выбор С = О приводит к тому, что фильтр Калмана дает в конечном счете малые веса новым измерениям и работает неудовлетворительно. Сравните рисунки 5.9, а, и 5.9, б. [c.172] На втором рисунке фильтр не отслеживает измеренную траекторию концентрации компонента А. Матрица может быть выбрана такой, чтобы она отражала априорную информацию относительно доли погрешности, обусловленной оборудованием, с одной стороны, и измерительными устройствами — с другой. [c.174] На практике матрицу используют для компенсации совокупной погрешности, вызванной линеаризацией модели или целевой функции, ошибками самой модели, неподдающихся измерениям возмущениями и т. д. Вообще говоря, матрица со слишком малыми элементами приводит к плохой сходимости процесса фильтрации, в то же время, если элементы слишком велики, оценки очень сильно зависят от новых измерений. Для получения удовлетворительной работы алгоритма элементы матрицы могут подбираться ( настраиваться ) методом проб и ошибок, а иногда оказывается возможным дальнейшее расширение вектора переменных состояния, так что некоторые из элементов Qii оцениваются одновременно с коэффициентами модели. [c.174] Вычислительные трудности возникают также вследствие плохой обусловленности матриц при многократных матричных операциях в процессе фильтрации, и потому мы еще раз подчеркиваем необходимость использования проверенных машинных программ. [c.174] В табл. 5.3.3 приведены некоторые значения /1 а- Отметим, что il-a(v) = [ 7Fl (v, 00)]1/2= [x(v)] /2. [c.175] Более точные критерии описаны Керром [54]. Он строит доверительную область вдоль нормальной траектории в соответствии с нуль-гипотезой и вторую доверительную область вдоль траектории, найденной с помощью фильтра Калмана обработкой текущих измерений. Если эти две доверительные области различаются, не подтверждая тем самым нуль-гипотезу, то имеет место неполадка. [c.176] Точка Я, находится там, где касаются два эллипса одинакового уровня из двух различных семейств эллипсов (т. е. самая низкая точка пересечения двух парабол). Все эллипсоиды равного уровня из обоих семейств, лежащие ниже % (не содержащие X ), разобщены. [c.176] Ряд дополнительных методов контроля, пригодных для рассмотренных в данном разделе моделей с дифференциальными уравнениями, можно найти в разделе 5.5.2, посвященном методам и критериям для моделей с разностными уравнениями. [c.177] Мы предполагаем, что только температура и концентрация выходного потока доступны для измерения. [c.178] Оценивание параметров методом фильтрации. Для нахождения оценок переменных состояния Сд и Г и параметров Р и О была использована программа нелинейного фильтра Калмана. Было найдено, что увеличение значений элементов матрицы С повышало долю, обусловленную изменением параметров, в величине оценки, но в то же время это увеличивало амплитуду флуктуаций оценок около действительных значений параметров. Уменьшение элементов матрицы Q снижало указанную долю, но уменьшало амплитуду флуктуаций. [c.180] Вернуться к основной статье