ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Первое удивительное свойство аналитических функций из "Абстракция в математике и физике" Удивительным является обилие свойств, общих для всех аналитических функций. Все они, естественно, вытекают из определения этого класса функций. Но само определение необычайно лаконично, оно выражается четырьмя словами функция должна быть дифференцируемой. Ничего больше не требуется Откуда же огромное количество следствий, изложение которых для студентов-математиков требует семестрового курса Мы не можем ответить на этот вопрос. Остается лишь удивляться. [c.68] Вернемся к точным формулировкам. Предположим, что есть две аналитические функции /1(2 ) и /2( )5 определенные в областях и 02 соответственно. Пусть эти области имеют общую часть о, содержащую некоторую дугу Ь и пусть во всех точках этой дуги функции /1( ) и f2 z) совпадают. Имеет место следующая теорема функции fl z) и /2( ) совпадают во всех точках области Во. [c.69] Эта теорема интересна и сама по себе. Однако значительно важней одно из ее простых следствий. Будем рассуждать следующим образом. Рассмотрим функцию /( ), которая в области совпадает с /1( )5 а в области 02 — с /2 (-2 ). В области О о она, разумеется, совпадает с каждой из этих функций. Поэтому функция / г) аналитична во всех точках области О, получаемой путем объединения областей 0 и 2. Мы доказали, что в условиях теоремы существует функция f z), аналитическая в области О и совпадающая в области Ох с исходной функцией /1(2 ). Функция /( ) называется аналитическим продолжением функции /1(2 ). Что касается областей 0 и 02, то они слились в одну область О подобно двум каплям жидкости на поверхности стекла. Заметим, что в описанном процессе аналитического продолжения математику отведена пассивная роль наблюдателя. Обнаружив, что две аналитические функции совпадают на некоторой дуге, он узнает, что область 0 является частью более широкой области, в которой обе функции аналитичны (и совпадают друг с другом). Он только узнает об этом, он ничего не конструирует Описанная ситуация делает почти очевидным следующее утверждение. [c.69] У каждой аналитической функции есть своя естественная область определения, за пределы которой она не может быть аналитически продолжена. [c.69] Именно это свойство аналитических функций позволило нам сравнить каждую из них с живым организмом. [c.69] Вернуться к основной статье