ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теория множеств и логика из "Абстракция в математике и физике" Задача решается просто. Сложим 12 и 10. Получим 22, то есть на 4 ученика больше чем есть в классе. Следовательно, четырех учеников при сложении мы посчитали дважды. Ясно, что это те ученики, которые изучают оба языка. Задача решена. Теперь наведем наукообразие на это простое рассуждение и убедимся в том, что подобное малопочтенное занятие может оказаться очень полезным. [c.76] Обозначим через Л множество учеников, изучающих французский язык, а через В — испанский. Число учеников в этих множествах обозначим через N A) и N(3). Множество всех учеников обозначим через А- -В, так как оно получается, если объединить в одно множество все элементы множеств А и В. Наконец, множество учеников, каждый из которых изучает два языка, обозначим символом АГ В и назовем пересечением этих двух множеств (рис. 9.1). [c.76] Теперь мы предложим читателю чуть более сложную задачу и покажем, что ее проще решить, пользуясь алгеброй множеств, нежели руководствуясь словесной логикой. Вот эта задача. [c.77] Отсюда число учеников, изучающих все три языка, равно пяти. Задача решена. Этот простой пример доказывает существование естественной связи между алгеброй множеств и элементарной логикой. [c.77] События, о которых пойдет речь ниже, поднимают на поверхность вопросы совершенно нового типа и приводят к возникновению математической логики. [c.77] Зададимся простодушным вопросом, каких чисел больше, рациональных или иррациональных Поскольку и тех, и других бесконечно много, поставленный вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда. [c.77] Вообразим группу кавалеров и дам на балу, ожидающих начала танцев. Можно ли, не подсчитав тех и других, узнать, кого больше, кавалеров или дам Можно Как только заиграет музыка и кавалеры пригласят дам, надо посмотреть, кто остался без пары — несколько кавалеров или несколько дам. Если танцуют все, то дам столько же, сколько кавалеров. Этот прием, казалось бы, можно использовать и для сравнения двух бесконечных множеств. [c.78] Предположим, что все элементы двух заданных множеств Л и В удается разбить на пары так, чтобы в каждой из них первый элемент был взят из Л, а второй — из В и чтобы ни один элемент из А или В не входил в несколько разных пар. Конечно, не всегда такое разбиение возможно. В тех случаях, когда его удается осуществить, говорят, что между элементами множеств А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Кажется естественным принять следующий принцип всякие два множества имеют одинаковое количество элементов, если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие. Однако следующий пример бросает тень сомнения на этот принцип. [c.78] Пусть А — множество всех положительных чисел, больших единицы, а, В — множество всех положительных чисел, больших трех. Образуем из них пары (ж, ж + 2), по одной паре на каждое число ж из А. При этом второе число — ж+2 — автоматически оказывается принадлежащим множеству В и входит, очевидно, только в одну из пар. Тем самым между элементами этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Согласно предложенному принципу получается, что оба множества, А и В, имеют одинаковое число элементов. Вместе с тем, интуиция подсказывает, что в А больше элементов чем в В. Вообще, если одно множество получилось из другого в результате изъятия части элементов, то естественно считать, что новое множество меньше исходного. Однако эти два принципа несовместимы. [c.78] Получилось противоречие. Конечно, в этом противоречии виноваты мы сами. Мы молчаливо предположили, что между любыми двумя бесконечными множествами можно установить соотношения больше , меньше , обладающие желательными свойствами. Приведенный пример показывает, что это не всегда возможно. [c.78] Заслуга Георга Кантора (1845-1918) состоит в том, что для сравнения множеств он ввел новое, более гибкое, понятие мощность множества . Всякие два множества, удовлетворяющие условиям первого принципа, он назвал множествами одинаковой мощности. Второй принцип Кантор модифицировал, приняв следующее определение. Будем говорить, что мощность множества А меньше мощности множества В, если оно не равномощно В и имеет ту же мощность, что и некоторое подмножество множества В. В такой форме второй принцип не противоречит первому. Из него, в частности, следует, что мощность множества не может быть меньше мощности какого-либо его подмножества. [c.79] Заметьте, что Кантор не пользуется понятием одинаковое количество элементов . Как мы видели, для бесконечных множеств оно бесплодно. [c.79] Кантор доказал отнюдь не тривиальное утверждение любые два множества либо равномощны, либо мощность одного из них меньше мощности другого. Он показал, что все рациональные числа можно перенумеровать, то есть присвоить каждому рациональному числу целочисленный номер, причем никакие два числа не будут иметь одинаковый номер. Это означает, что множество всех рациональных чисел имеет такую же мощность, как и множество всех целых чисел. Множества такой мощности Кантор назвал счетными. [c.79] Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество счетного множества само является счетным. Отсюда следует, что среди бесконечных множеств наименьшую мощность имеют счетные множества. [c.79] Кантор также обнаружил, что действительные числа перенумеровать невозможно как бы мы ни использовали целые числа для нумерации некоторого набора иррациональных чисел, полученный набор никогда не охватит все множество этих чисел. Поэтому мощность множества всех действительных чисел, называемого континуумом (от латинского слова ontinuous — непрерываемый), больше мощности множества рациональных чисел, которое то и дело прерывается иррациональными числами. Воспроизведем рассуждения Кантора. [c.79] Как уже говорилось, любое множество, элементы которого (не обязательно числа) можно перенумеровать, то есть присвоить каждому номер, Кантор назвал счетным множеством. Он показал, что всякое множество, распадающееся на два счетные подмножества, является в свою очередь счетным. Прием, которым воспользовался Кантор, состоит в следующем. Возьмем первый элемент первого подмножества и сохраним за ним первый номер. Первому элементу второго подмножества присвоим номер два. Помер три присвоим второму элементу первого подмножества, а номер четыре — второму элементу второго подмножества. Продолжим этот процесс, вызывая попеременно очередные элементы из двух подмножеств и присваивая им очередной еще не использованный номер. В результате каждый элемент исходного множества получит свой номер. Это и означает, что множество, распадающееся на два счетные подмножества, само является счетным. [c.80] Применим этот результат к множеству всех действительных чисел. Оно состоит из двух подмножеств рациональных и иррациональных чисел. Первое, как мы видели, является счетным. Если бы и второе подмножество являлось счетным, то счетной была бы и их сумма, то есть множество всех действительных чисел. Мы, однако, покажем, что последнее не является счетным. Это будет означать, что, как и утверждалось, множество всех иррациональных чисел нельзя перенумеровать, то есть его мощность больше мощности множества рациональных чисел. Что же представляет собой доказательство, найденное Кантором Оно ведется от противного . Предположим, что нам удалось перенумеровать все действительные числа. Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Построим бесконечную десятичную дробь, у которой число целых рано нулю, а первый знак после запятой не равен первому знаку после запятой у действительного числа, получившего первый номер. Второй знак у числа, которое мы строим, выберем произвольно, лишь бы он не совпадал со вторым десятичным знаком у действительного числа с номером два. Подобным же образом, при выборе к-го десятичного знака позаботимся о том, чтобы он не совпадал с к-м десятичным знаком действительного числа с номером к. Такой метод построения нашего числа гарантирует, что оно не совпадет ни с первым действительным числом, ни со вторым, и, вообще, ни с одним из перенумерованных чисел, то есть этого числа нет в списке. Следовательно, как бы мы ни нумеровали действительные числа, занумеровать все их невозможно. Они образуют несчетное множество. Это же относится и к множеству иррациональных чисел. Итак, мощность счетного множества меньше континуума. [c.80] Кантор также сформулировал следующую проблему существует ли множество, мощность которого меньше континуума, но больше мощности счетного множества Ниже мы вернемся к этой проблеме. [c.81] Кантор сделал и еще одно парадоксальное утверждение множество всех точек плоскости с рациональными координатами равномощно множеству всех рациональных точек прямой. К сожалению, рамки книги не позволяют обрисовать сколько-нибудь полно роль работ Георга Кантора в становлении современной математики. Кантор создал рай, из которого никто не сможет нас изгнать , — сказал Давид Г ильберт. [c.81] Сама по себе абстрактность не является достоинством. Она превра-ш,ается в наукообразие, если не приносит пользы. В чем же польза введения букв Рассмотрим следуюш,ую часто встречаюш,уюся ситуацию. Пусть две величины (скажем, а и 6) жестко связаны друг с другом. Это могут быть, например, время и путь, проделанный за это время камнем, который брошен вертикально вниз с известной начальной скоростью число участников шахматного турнира и число сыгранных ими партий, если любой из них играет по две партии с каждым другим участником. Можно привести еш,е много подобных примеров. Во всех этих примерах величины а и 6 с человеческой точки зрения неравноправны если зная одну из них, например а, легко вычислить другую, то вычислить а по известному 6 гораздо труднее. Обычно более легкую задачу называют прямой, а более трудную — обратной задачей. [c.82] Вернуться к основной статье