ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Устойчивость в малом. Первый метод Ляпунова из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Чтобы объяснить смысл понятия устойчивость в малом , необходимо привести некоторые сведения о фазовом пространстве и связанных с ним понятиях. [c.22] Понятие фазового пространства динамической системы — одно из важнейших в качественной теории дифференциальных уравнений. [c.22] Здесь Хи Х2,. .., Хп — переменные, характеризующие состояние динамической системы. Каждому мгновенному состоянию системы отвечает определенная совокупность значений этих переменных, всякому процессу, протекающему в динамической системе, — изменение значений переменных Хи Хг,. .., х , определяемое уравнениями (1,24). [c.23] Фазовым пространством автономной динамической системы П Го порядка, описываемой уравнениями (1,24), называется п-мерное пространство переменных Х1, Хд,. .., х , отображающее совокупность всех возможных состояний системы. [c.23] Доказательство существования и единственности решения системы (1,24), можно найти, например, в монографии [26]. [c.23] Выражения (1,25) можно рассматривать как параметрические уравнения (с параметром т) кривых в фазовом пространстве. Эти кривые называются фазовыми траекториями. Из единственности решения системы (1,24) следует, что через каждую точку фазового пространства проходит одна, и только одна, фазовая траектория. [c.23] Наряду с термином положение равновесия широко распространен также термин состояние равновесия. Мы будем придерживаться первого термина, оставив второй для обозначения равновесного (в термодинамическом смысле) состояния системы. [c.24] Рассмотрим вкратце физический- смысл, который могут приобрести вышеприведенные понятия при исследовании динамики химического реактора. Для реактора идеального смешения, математическая модель которого представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, роль переменных. Г , Хг,. .., Хп играют концентрации реагирующих веществ и температура в реакторе. [c.24] Движение изображающей точки в фазовом пространстве реактора, вообще говоря, отвечает неустановившемуся режиму, положение равновесия, не являющееся равновесным состоянием, — стационарному состоянию реактора. [c.24] Положение равновесия, соответствующее стационарному состоянию реактора, обладает определенными координатами в фазовом пространстве, т. е. характеризуется определенными (стационарными) значениями концентраций реагентов и температуры. [c.24] Однако в химическом реакторе, так же как и в любой реальной системе, неизбежно происходят возмущения стационарного режима в фазовом пространстве они изображаются отклонениями изображающей точки от положения равновесия. [c.24] Если после нанесения достаточно малого возмущения изображающая точка приближается к положению равновесия (или по крайней мере остается в достаточно малой его окрестности), то положение равновесия является устойчивым если изображающая точка удаляется от положения равновесия, то оно является неустойчивым. [c.24] Такое определение устойчивости, конечно, не является математически точным. Точное определение устойчивости в том смысле, который мы имеем в виду, а именно устойчивости по Ляпунову, можно найти как в монографии А. М, Ляпунова [27], так и в других книгах, например, в работе [28, с. 45], и в многочисленных книгах, посвященных теории устойчивости, нз которых мы укажем некоторые [29—34]. [c.24] Устойчивость положения равновесия — это устойчивость при достаточно малых возмущениях или устойчивость вмалом. Определение устойчивости в малом не позволяет предсказать, как будет вести себя система при больших возмущениях. Вопрос о поведении исследуемых систем при больших возмущениях рассматривается в главе IV. [c.24] Устойчивость положений равновесия динамической системы может быть исследована при помощи первого метода Ля-п у и о в а. [c.25] Подробное изложение первого метода Ляпунова и доказательства приводимых здесь теорем можно найти в рекомендованных выше книгах по устойчивости [29—34]. [c.25] Пусть уравнения, описывающие поведение динамической системы, имеют вид (1,24), а координаты исследуемого положения равновесий в фазовом пространстве удовлетворяют уравнениям (1,26). [c.25] В работах А. М. Ляпунова было показано, что между устойчивостью положения равновесия исходной нелинейной системы (1,24) и значениями корней характеристического уравнения линеаризованной системы (1,27) существует следующая связь. [c.25] Положение равновесия устойчиво, если действительные части всех корней характеристического уравнения (1,28) отрицательны. [c.25] Положение равновесия неустойчиво, если действительная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения положительна. [c.25] Вернуться к основной статье