ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теоремы Ляпунова из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" В основе второго метода Ляпунова лежит несколько теорем, определяющих достаточные признаки устойчивости системы в заданной области отклонений от положения равновесия. Прежде чем сформулировать эти теоремы, необходимо дать определение устойчивости в смысле Ляпунова. [c.158] При рассмотрении динамических систем могут существовать два подхода к устойчивости системы. [c.158] Нас может интересовать возвращаемость системы к положению равновесия (стационарному состоянию) или соблюдение системой заданного движения. В первом случае говорят об устойчивости положения равновесия, во втором — об устойчивости движения. [c.158] В случае проточного химического реактора основным рабочим режимом будет стационарное состояние, поэтому при анализе устойчивости работы такого реактора, как правило, исследуются стационарные состояния. Напротив, в периодическом реакторе рабочим. является переходный режим. Поэтому для таких реакторов проблему устойчивости следует рассм-атривать как задачу об устойчивости движения. [c.158] На первый взгляд устойчивость равновесия и устойчивость движения принципиально различны. С физической точки зрения это так и есть. Однако математически оба эти понятия устойчивости находят идентичную трактовку. Устойчивость движения можно рассматривать как обобщение понятия устойчивости стационарного состояния. [c.158] Пусть поведение динамической системы описывается дифференциальными уравнениями вида (V, 1). [c.158] Если система не только остается вблизи положения равновесия, но с ростом времени неограниченно приближается к нему т. е. хг х)- х15 при т оо, то она обладает асимптотической устойчивостью. [c.159] В случае, когда нас интересует устойчивость движения, а не устойчивость положения равновесия, определение устойчивости будет мало отличаться по форме от приведенного выше. При этом рассматривают отклонение возмушенного движения от невозмущенного и требуют, чтобы по заданному сколь угодно малому е можно было найти такое б(е), что отклонение в произвольный момент времени не будет превосходить е, если отклонение в начальный момент не превосходит б(е). [c.159] Перейдем к теоремам Ляпунова. [c.159] Первая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцик V Х1, Х2. Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакопостоянная функция со знаком, противоположным знаку V, или функция, тождественно равная нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [c.159] Вторая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию У(х1, Х2. Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакоопределенная функция со знаком, противоположным знаку V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.159] Доказательства теорем Ляпунова можно найти в цитированных монографиях. Здесь мы ограничимся лишь геометрической интерпретацией. [c.159] Для простоты обратимся к системам второго порядка, поведение которых может быть истолковано на фазовой плоскости. Предположим, что система имеет единственное положение равновесия. Если удалось найти функцию Ляпунова, удовлетворяющую условиям второй теоремы (т. е. такую, для которой производная V знакоопределенна и противоположна по знаку V), это означает, что в окрестности положения равновесия можно построить континуум вложенных один в другой замкнутых контуров У = М. Каждый из них пересекается фазовыми траекториями снаружи внутрь, т. е. представляет собой цикл без контакта. [c.159] С уменьшением величины М эти контуры стягиваются к положению равновесия. Из этого следует, что положение равновесия обладает асимптотической устойчивостью. [c.159] Вернуться к основной статье