ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Линейное и выпуклое программирование из "Методы линейной алгебры в физической химии" Величины Уг, следовательно, являются случайными, т. е. такими величинами, которые могут принимать в результате опыта различные значения. [c.106] Отыскание наилучшего приближения в таком контексте означает, что по серии экспериментальных измерений случайных величин Уг, являющихся линейпыми функциями некоторых переменных х,, требуется оценить как переменные Х], так и истинные значения величин у,-. Коэффициенты ац линейной связи при этом предполагаются известными и фиксированными. Коль скоро оценки переменных Xj определяются по набору случайных величин yi, то они являются случайными величинами. Решение вопроса о нахождении оценок и их достоверности достигается с помощью вероятностно-статистического подхода. [c.106] Когда число уравнений в системе равно числу неизвестных (т = п, р(А)=л), ошибки целиком войдут в решение. Поэтому хотя бы для частичной компенсации ошибок и повышения надежности оценки берут число экспериментальных данных большим, чем число переменных Xj. [c.106] Можно задать ошибки бг, после чего попытаться найти X и Дг и т. II. [c.107] Ввиду такой неопределенности стараются подобрать значения неизвестных Х[, Х2,. .., так, чтобы компоненты вектора уклонений V удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям, например, чтобы вектор V был минимальным по заданной норме. Если стремиться получить для всех конкретных задач (или хотя бы группы родственных задач) непротиворечивое соглашение, то можно говорить только о некоторых суммарных ограничениях, накладываемых на вектор уклонений V, причем ограничениях достаточно общего характера. [c.107] К сожалению, единого критерия выбора этих ограниченш дать нельзя. Среди различных вариантов можно, пользуясь теми или иными соображениями, выбирать более достоверные, хорошо соответствующие условиям проведения эксперимента . Однако таких более достоверных ограничений может быть несколько (как правило, так и бывает). Окончательный вариант можно выбрать только после детального анализа обработки результатов при различных ограничениях. Из наиболее часто используемых ограничений (способ задания нормы) следует отметить минимизацию суммы квадратов уклонений (невязок) Ог, или суммы модулей уклонений, минимизацию максимального уклонения, минимизацию нормированной суммы квадратов отклонений с нормирующими множителями, равными, например, обратным значениям дисперсий, обусловленных ошибкой эксперимента. Находит также применение критерий минимума суммы квадратов логарифмов иг. [c.107] В математической статистике каждая случайная величина характеризуется функцией плотности вероятности или функцией распределения вероятности, и моментами случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и др.). Напомним определения этих величин. [c.108] Эта функция называется также функцией плотности случайной величины X. Ее задание определяет все остальные характеристики случайной величины. Помимо величины х функция плотности может зависеть и от параметров тЭ, что записывают так /(л 0) под X может подразумеваться как одна переменная, так и несколько. [c.108] При х= + оо / (а ) = 1 (событие достоверное). Функцию F(x) называют также законом распределения, или распределением накопленной вероятности. [c.108] Корень квадратный из дисперсии называют среднеквадратичным отклонением а. Кроме того, нам потребуются еще следующие определения. [c.109] Понятие несмещенной оценки оказывается существенным в тех случаях, когда имеется, например, функция случайной величины я(х), при подстановке в которую Е х) мы получаем некоторую оценку для математического ожидания [ (л ).], в общем случае не совпадающую с Е [ (х)]. [c.109] Количественной мерой точности оценки является ее эффективность е, определяемая как отношение дисперсии эффективной оценки и дисперсии данной оценки 0 е 1, причем для эффективной оценки е = 1. [c.109] Такая классификация оценок наиболее пригодна для малого числа измерений (малые выборки). При достаточно большом числе измерений вводятся так называемые асимптотические оценки. [c.109] Далее мы воспользуемся результатами математической статистики, доказательства которых приводить не будем, отсылая читателя к специальной литературе (см., например, [7, 8]). В цели настоящего изложения не входит подробное описание теоретических аспектов математической статистики. Его скорее надо рассматривать как краткую сводку основных понятий и результатов, которые используются в последующих главах. [c.109] Если (3.10) выполняется, то можно без труда доказать две важные теоремы. [c.110] Теорема 2. Дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин равна линейной комбинации их дисперсий. [c.110] Вектор V с компонентами у, у2,. .., Ут, максимизирующий функцию правдоподобия (3.13), т. е. обладающий наиболее вероятной совокупностью компонент, называется оценкой максимального правдоподобия, а подход к нахождению оценки — принципом максимального правдоподобия. [c.111] Трудность при использовании этого подхода заключается, од нако, в том, что вид функции правдоподобия зависит от функции плотности, другими словам1г от закона распределения ошибок экспериментальных данных. Здесь существует тот же произвол, что и в выборе нормы при определении наилучшего приближения. В зависимости от вида функции распределения будут получаться различные оценки, что приведет к различным методам решения переопределенных систем уравнений. [c.111] Приведенные функции плотности довольно часто встречаются в различных статистических задачах. Укажем их основные свойства (и соответствующие им названия). [c.112] Если мы переходим от случайной величины х к некоторой функции к х), то эта функция также будет случайной величиной с законом распределения, который в общем случае будет отличаться от закона распределения л . [c.113] Вернуться к основной статье