ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Обобщение понятия квазиконформности. Производные системы Вариационные принципы из "Проблемы гидродинамики и их математические модели" Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую. [c.88] Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области. [c.88] Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений 1) отображение / , обратное и конформному отображению f, и 2) сложное отображение f°g, составленное из двух конформных отображений f я g (т. е. отображение MJ = /[g (2)]), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций. [c.88] Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел). [c.89] Займемся вопросом о том, насколько определена Рис. 21. [c.89] Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений. [c.90] Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в меридианы и параллели (рис. 24). [c.91] Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского двилсения. [c.93] Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала — аналитической в D функции f = u- -iv. Найти течение— значит найти эту функцию. [c.93] О на полосу О у /г с нормировкой /( с ) = оо. Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана. [c.94] И одна из 2кр лежит внутри круга [г] а другая вне его. [c.96] Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). Поэтому области с различной площадью оказываются заведомо неотобразимыми друг на друга. [c.97] Подставляя-в (2) выражения частных производных через характеристики, мы получим систему двух уравнений, которые назовем уравнениями в характеристиках. Первое требование, налагаемое на системы, носит формальный характер и состоит в том, что уравнения в характеристиках можно разрешить относительно 7 з и 0р, т. е. [c.98] Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими. [c.98] Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования решений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. [c.99] станет линейной системой. [c.101] Теория линейных систем развита существенно лучше, чем теория систем нелинейных. Поэтому описанный способ перехода к производным системам оказывается решающим, особенно для граничных задач, которые формулируются в терминах потенциала (и, v) и скорости (т, а). Примеры таких задач будут встречаться в дальнейших главах. [c.101] Если теперь подставить р = е , то получится первое уравнение (14). [c.102] Вернуться к основной статье