ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Обтекание пластинки. Задача о склейке. Обтекание выпуклых Обтекание траншеи. Заключительное замечание Пространственные задачи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели" Подсчитаем число параметров, определяющих это рещение задачи обтекания. Функция g и радиус R полностью определяются видом обтекаемого контура у и принятыми условиями нормировки. Вектор скорости в бесконечности V , остается свободным параметром — мы можем задавать его произвольно. Остается выяснить ситуацию с величиной циркуляции Г. Как видно из (9), эта величина полностью определится, если известен аргумент образа точки разветвления или схода потока при отображении g. В принципе эти точки можно задавать произвольно, так, что Г также является свободным параметром. [c.165] Однако в приложениях к авиации дело обстоит не так. Обтекаемый контур — профиль крыла самолета — здесь обычно имеет острую кромку, скажем, точку 2о, с углом между касательными ая (0 а 1), как на рис. 49. Как мы видели в гл. И1, из этого вытекает, что производная g отображающей функции обращается в этой точке в бесконечность. Отсюда, вообще говоря, следует физически невозможный вывод о том, что скорость течения в точке Zq бесконечно велика. [c.165] Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах. [c.167] Заметим, однако, что проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмотрим в дальнейшем изложении. [c.167] Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений. [c.167] Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно малую вязкость, то под ее влиянием движение быстро перестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная диссипация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на границе нет трения, под влиянием вязкости будет стремиться к вращению жидкости как твердого тела. [c.168] И функция = и - -iv будет аналитической. Это позволяет привлечь для изучения рассматриваемой схемы аппарат теории аналитических функций. [c.169] Это — одна из так называемых линейных граничных задач теории аналитических функций. В классе ограниченных функций она имеет единственное решение для любого гладкого контура Г (см. Л. и Ш., гл, III). [c.170] Потенциала скоростей в этой схеме не существует просто потому, что движение не потенциально. [c.170] Пусть область 5 содержится в О, а ее граница Г имеет общую дугу у с границей Г области О. В О и Ь рассматриваются течения с постоянными завихренностями (О и б и с одинаковым угловым расходом Й. При этих условиях на у скорость второго течения меньше скорости первого, т. е. К во всех точках у- Если дополнительно предположить, что О и В — выпуклые области, то в точках наибольшей деформации 9 V. [c.172] Если ввести комплексный потенциал течения / = = и iv, то эта задача сводится к геометрической задаче построения конформного отображения на полосу О и С /г области D типа полосы, у которой нижняя граница Го задана, а верхняя Г неизвестна — известно только, что на ней постоянно растяжение / (г) =С отображение нормируется условиями /(+оо) = оо. [c.174] Если выбрать кривую Г у х)= уо х) - к, то при малых к растяжение [Г(г) [ на Г будет большим, а при больших й —малым, поэтому при заданном значении скорости С можно выбрать постоянные К я К так, чтобы на кривой у = Уй х)- К растяжение было всюду больше С, а на кривой у = Уо(х) +/( —всюду меньше С. В остальных неравенствах мы считаем М и N достаточно большими. [c.175] Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, па таком множестве непрерывный функционал / (Г) достигает своего наименьшего значения. Пользуясь вариационным принципом для конформных отображений полос, можно доказать, что если бы полученное наименьшее значение было отличным от нуля, то оставаясь в классе допустимых кривых, можно было бы проварьировать Г так, чтобы величина / (Г) уменьшилась. Отсюда следует, что /(Г) = 0, т. е. что построенная кривая — искомая. Из того же вариационного принципа можно заключить, что кривая Г, которая дает решение задачи, определяется единственным образом. Подробнее об этом методе см. М. А. Лаврентьев [2]. [c.175] Это уравнение, очевидно, разрешимо при цУо 1 при цУо 1 опо не имеет решений. Легко видеть, что последнее неравенство совпадает с (6), так что условия разрешимости общей и линеаризованной задачи о волнах оказываются одинаковыми. [c.178] Учет нелинейности. В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экспериментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каждый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значительной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум. [c.178] Меняя Уо, мы получим однопараметрическое семейство волн различной длины. При Уо = г]1 это прямая, при Уо т] и мало отличающихся от т)1 — периодическая кривая с крутыми горбами и пологими впадинами. При возрастании Уо период кривой возрастает, и при Уо, стремящемся к некоторому значению Уь которое, можно выразить через параметры аир, период возрастает неограниченно — мы получаем кривую с единственным максимумом в точке л = О, т. е. уединенную волну (рис. 53). [c.179] Волна Стокса. В настоящее время методы теории функций и функционального анализа позволили решить почти все вопросы, связанные с существованием и единственностью волн в тяжелой жидкости. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться, например, по сборникам [9] и [10]. Остановимся на одном из оставшихся нерешенными вопросов — доказательстве существования так называемой предельной волны Стокса, которая имеет острия на гребнях. [c.180] Даже проведенное выше приближенное исследование, в котором было принято условие малости амплитуды, показало, что при увеличении амплитуды волны ее горб становится круче. Если же отказаться от этого условия, то естественно ожидать, что увеличение амплитуды до некоторого критического значения приведет к появлению на грёбнях волны острых углов. Это явление было предсказано еще Стоксом, и оно хорошо подтверждается экспериментами. [c.180] Вопрос о существовании волн с угловыми точками на поверхности, т. е. с углами наклона, большими или равными до сих пор остается открытым. Получены доказательства существования (гладких) волн с наклонами, близкими к критическому, но критическое значение еще не достигнуто и, таким образом, существование волны Стокса не доказано. [c.182] Вернуться к основной статье