ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математические модели самоорганизующихся структур из "Биофизика Т.1" Эта скорость зависит от концентраций всех компонентов реакции в точке г, а также непосредственно от г и так как внешние параметры, такие, например, как температура, могут быть различны в разных точках г и меняться со временем. [c.87] Если область V совпадает со всем пространством, граничных условии ставить не нужно. [c.88] Здесь величины ехр [ 3 — (птг//) ]1) задают временной характер затухания или нарастания начального возмущения 5(0, с1 множители со8[пк/ 1г)] определяют распределение начального отклонения вдоль координаты г. [c.93] Если в формулах (1У.2.10)-(1У.2.12) Q = /(с) О, то при любом п = 0,1,2. возмуш ение будет затухать, т. е. функция ( , г) — оо при i — оо, каково бы ни было начальное пространственное отклонение 5(0, г) от стационарного однородного распределения концентрации с(г). В этом случае любое малое возмуш ение однородного по пространству стационарного решения со временем затухает. Если ( = О, то показатель экспоненты отрицателен при любых п, кроме п = 0. В такой системе будут затухать все гармоники со8 пкг/1) начального возмуш ения для п = 0,1,2,3. (для нулевой гармоники п = О линейное приближение ответа не дает). Если Q О, то суш ествует конечное число гармоник вида С08 пкг/I), которые приводят к развитию возмуш ений стационарного исходно однородного в пространстве решения. Легко видеть, что это только те гармоники, у которых показатели экспонент (IV. 2.11) положительны, т. е. [c.93] Если в начальном возмущении 5(0, г) таких гармоник нет, то оно со временем будет исчезать. Незатухающие гармоники могут, развиваясь, уводить систему от исходно однородного стационарного распределения вещества и переводить ее в другой режим, который включает возникновение автоволновых процессов или пространственно неоднородных диссипативных структур. [c.93] Исследование на устойчивость неоднородных по пространству решений более сложно. [c.93] Оказалось, что сравнительно простая модель (П.4.7) при определенном выборе вида функций Р и Q может качественно описать наблюдаемые в живых системах процессы, связанные с самопроизвольным возникновением волн и структур, — процессы самоорганизации. [c.94] Поведение распределенных (IV.2.13) систем из двух уравнений может быть чрезвычайно разнообразным и демонстрировать основные динамические свойства, такие как распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса, стоячие волны, квазистохастические волны, диссипативные структуры. Исследование базовых моделей имеет целью выяснение бифуркационных значений и соотношений между параметрами модели, определяющими тот или иной тип ее поведения. Как и в случае точечных систем (гл. I), особое внимание уделяется здесь анализу устойчивости стационарного состояния. Мы не будем проводить его подробно, а укажем лишь на основные направления исследования и его возможные результаты. [c.94] В биологических системах особое значение имеет нарушение пространственной симметрии и возникновение ДС как самопроизвольный переход от однородного стационарного состояния к пространственно неоднородному. В 1952 г. Тьюринг показал, что в системе (IV.2.13) могут возникнуть ДС, что является иллюстрацией явления морфогенеза. [c.95] Оказалось, что ДС в (IV.2.13) возникают, если стационарное состояние соответствующей точечной системы является устойчивым фокусом, а для распределенной системы имеется интервал значений к, где Repi 2 обладает разными знаками (область II значений к ), т. е. имеется неустойчивость седлового типа. [c.95] На рис. IV.4 представлены стационарные профили переменной х для различных возмущений. Если учесть, что вещества А и В сами могут диффундировать в среде, то это приведет к установлению их собственных концентрационных профилей. В свою очередь это вызовет локализацию диссипативных структур внутри определенных границ. Например, если концентрация А поддерживается постоянной на границе, а само А диффундирует по всему объему, то ДС будут локализованы в пространстве (рис. IV.5). Видно, что при увеличении параметра В происходит удвоение ДС. Затем при дальнейшем увеличении В, устойчивость ДС теряется, и в системе возникают синхронные автоколебания. [c.95] В настоящее время теория самоорганизации в биологических системах еще далека от завершения и не всегда может дать строгое количественное описание реальных явлений. Тем не менее она показала возможность пространственно-временной самоорганизации первоначально однородных систем. Сейчас уже разработан ряд удачных базовых моделей, описывающих качественные особенности конкретных явлений распространение волны концентраций в системах с диффузией, модель Тьюринга, модель дифференцировки тканей Гирера - Майнхардта. Одна из наиболее продуктивных моделей, так называемый брюсселятор , будет рассмотрена в качестве примера. [c.95] Фазовые портреты точечной системы изображены на рис. 1У.6. [c.97] В этой области значений волнового числа возможны периодические в пространстве и не зависящие от времени решения, соответствующие появлению диссипативных структур. Для возникновения диссипативных структур необходимо, чтобы коэффициенты и Dy были существенно различны, а параметры и S не слишком далеки от своих бифуркационных значений. Если скорости диффузии очень велики, то неустойчивость возникает при больших Х = (1/А)[О ОуУ/ , так что практически система остается однородной. Если в точечной системе брюсселятора возмущения нарастают колебательно и рост амплитуды этих колебаний ограничивается предельным циклом, то распределенная система имеет неустойчивость колебательного типа. В этом случае рост возмущений в распределенной системе (IV.2.17) может также привести к устойчивому во времени и неоднородному по пространству распределению концентраций веществ хну. Как и в случае неустойчивости седлового типа, рост возмущений ограничивают диссипативные процессы в системе, которые описываются нелинейными членами в уравнениях химических реакций (отсюда название — диссипативные структуры). Кроме того, в такой системе могут возникнуть автоволновые процессы типа стоячей и бегущей волны. [c.98] При непрерывном изменении параметров одни диссипативные структуры сменяют другие. Пусть, например, все коэффициенты системы неизменны, а варьируется длина реактора L. В брюсселяторе при определенных фиксированных значениях остальных параметров первая диссипативная структура D i) существует в пределах i = 0,5 1,7, вторая D 2) —в пределах L = 1,2- 3,6, третья (D s) — в пределах L = 3,0 -j- 4,0 и т. д. Па рис. IV. 7 показан переход от одной диссипативной структуры к другой, который происходит гистерезисным способом. Таким образом, одномерная трубка, в которой идет реакция, является распределенным триггером со многими устойчивыми состояниями — формами диссипативных структур. [c.99] В принципе с помощью таких триггерных структур можно моделировать процесс деления живых клеток. Если рост клетки выражается в увеличении ее длины, то при определенной длине клетки создаются предпосылки деления ее на две части, т. е. в скрытой форме в ней происходит образование новой диссипативной структуры. Если же процесс переключения триггера произошел, то обратный переход благодаря гистерезису уже практически невозможен. [c.99] Изучение принципов самоорганизации (синергетические механизмы на простейших моделях) имеет принципиальное научное и прикладное значение. Развитие теории автоволновых процессов необходимо для понимания таких кардинальных явлений в живом организме, как процессы дифференцировки тканей и морфогенеза, а также нервная проводимость сердца. [c.100] Реакция Белоусова-Жаботинского. В 1959 г. Белоусов наблюдал периодические (частота порядка 10 Гц) изменения цвета раствора в реакции окисления лимонной кислоты броматом катализатором служили ионы церия. Изменения окраски определялись периодическими превраш ениями Се Се . Детальные экспериментальные и теоретические исследования этого явления и подобных ему были осуш ествлены Жаботинским с сотрудниками в 1964-74 гг. [c.100] Вернуться к основной статье