ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Хаотические процессы в детерминированных системах из "Биофизика Т.1" Уравнение (IV. 2.20) имеет фундаментальное значение и может описывать отдельные процессы структурообразования в различных самоорганизующихся системах. Однако оно не отражает, конечно, биологического смысла развития и эволюционных процессов организмов. [c.105] Нри этом амплитуда данного распределения U(г, t) для всех компонентов реакций подчинена уравнению Гинзбурга-Ландау. [c.105] Заметим, что при переходе по известным процедурам от исходного описания химической системы в терминах концентраций реагентов с, к переменной макроскопического описания и (г, t) теряется часть информации о системе. Действительно, в уравнении (IV.2.20) содержится лишь два параметра [i и а, тогда как в исходной системе их могло быть намного больше. Такое описание динамики становления макроскопической упорядоченности не позволяет точно предсказывать исходную точку самоорганизации в конкретных реакциях. В сложных реальных системах соответствующие данные могут быть получены из эксперимента, либо путем громоздких расчетов. Располагая ею, можно судить о крупномасштабной структуре формирующегося пространственного порядка и о ходе процесса формирования структуры во времени. [c.105] В системах, которые мы до сих пор рассматривали, детерминированный характер их поведения проявляется в том, что малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям конечного результата. Это в сущности справедливо и в отношении поведения систем в точках бифуркации. Незначительные возмущения толкают систему в один из заранее возможных режимов. В этих случаях (триггерное переключение, устойчивый цикл около неустойчивого фокуса), соответствующие фазовые траектории носят вполне определенный характер, а случайным является лишь переход систем в один из режимов. [c.105] Модели хаотических систем. Мы кратко рассмотрим некоторые модели детерминированных систем с хаотическим поведением и обсудим их возможное значение в биологии. Заметим, что еш е в конце прошлого века было открыто (Пуанкаре), что в некоторых механических системах, подчиняюш ихся уравнениям классической механики, наблюдается хаотическое поведение. Например, периодически возбуждаемый внешней силой Iq eos oi механический маятник обнаруживает хаотическую зависимость угла 0 от времени (рис. IV. 11), если амплитуда Iq вынуждаюш ей силы превосходит некоторую пороговую величину F . [c.106] В этой модели переменные могут проявлять хаотическое поведение при повышении разности температур АГ, когда значение управляющего параметра превышает критическое значение г с (г г с)- На рис. IV. 13. показано, как ведет себя переменная у во времени. При г Гс зависимость у(1) представляет собой затухающее периодическое движение. Однако при превышении критического порога г Гс в колебаниях появляются нерегулярные хаотические всплески. С ростом г они становятся все более частыми, пока движение полностью не хаотизуется (рис. IV. 14). В трехмерной модели Лоренца (IV.3.1) траектория в фазовом пространстве может быть вычислена на ЭВМ. На рис. IV. 15 показан пример такой траектории, вычисленной при г = 2, а = 10, 6 = 8/3. Как видно, траектория притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве. Движение системы блуждающее, т. е. [c.107] Множества Мандельброта. Более обилие закономерности перехода от порядка к хаосу были обнаружены в так называемых множествах Мандельброта (1980) и могут быть наглядно представлены графически. [c.111] Параметр роста г изменяется вдоль оси абсцисс (1,9 г 3). Для каждого значения г по истечении переходного периода длительностью в 5000 итераций на плоскость рисунка наносятся 120 итераций точки X. На вставке в увеличенном виде показана выделенная рамкой часть кратность увеличения в направлении г превышает кратность увеличения в направлении х. [c.112] Очевидно, что числа в пределе будут либо уменьшаться, стремясь к нулю (при ,го 1), либо наоборот увеличиваться до бесконечности (при о ) В первом случае аттрактором для процесса г будет нуль, а во втором — бесконечность. Границей между двумя областями этих аттракторов является очевидно окружность с радиусом 1 вокруг точки 0. [c.112] Картина становится еш е более зрительно впечатляюш ей, если окрашивать различные точки на плоскости в разные цвета в зависимости от того, как быстро они достигают области притяжения, что зависит от числа итераций. Границы областей притяжения принято называть множествами Жюлиа. Эти границы могут быть связанными (рис. IV. 19) при определенных значениях константы с. [c.113] На рис. IV.20 показано графически множество значений константы с, в комплексной области, для которых множества Жюлиа связаны. Фигура на рис. IV.20 называется множеством Мандельброта (1980) или множеством М, по имени ученого, впервые ее опубликовавшего. Для всех с, принадлежаш их черной фигуре. [c.113] Сейчас исследования в этой области бурно развиваются. [c.114] Хорошо известны примеры (легочные альвеолы, изрезанные листья) разветвленной структуры различных органов и тканей, состояш их из хаотически сложенных мелких деталей, но которые тем не менее сохраняют в совокупности специфические контуры, присуш ие всему образованию в целом. [c.116] Оказалось, что для имитации на компьютере сложной фрактальной формы суш ествуют довольно простые правила, по которым можно воспроизвести ее образование по законам хаоса. Хаотическое поведение является на самом деле отражением глубоких закономерностей динамической организации сложных систем. Предложенные сегодня модели детерминированного хаоса, возможно, представляют собой простейшие правила хаотизации и в этом смысле могут рассматриваться в качестве первых базовых моделей хаоса. Ясно, что здесь мы находимся лишь в начале пути в изучении роли хаоса в природе и в самоорганизации биологических систем. [c.116] Основной обилий результат на сегодняшний день состоит в том, что поведение детерминированных систем, в том числе и биологических, которые всегда рассматривались в качестве предсказуемых, на самом деле при определенных параметрах обнаруживает хаотические свойства. [c.116] Вернуться к основной статье