ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Консервативные и диссипативные системы из "Турбулентность - модели и подходы Ч 1" Состояние маятника в любой момент времени полностью задается двумя величинами положением в (О и угловой скоростью 0 (0. Если мы введем систему координат, осями которой будут служить эти две величины, то точка на плоскости (0,0 ) будет полностью характеризовать состояние системы, а любому решению будет соответствовать та, или иная линия (траектория). [c.44] НОСТЬ фазовых траекторий, описывающих эволюцию системы при различных начальных условиях, образует фазовый портрет системы. [c.45] На рисунке 2.2 приведен фазовый портрет маятника. Картина периодична по оси 0 с периодом 2п. В области применимости уравнения (2.2) фазовые траектории представляют собой окружности с центрами в точках 0 0,0 = 2пп, п -целое число. Эти кривые соответствуют гармоническим колебаниям, частота которых не зависит от амплитуды. С ростом амплитуды колебаний траектории принимают эллиптическую форму и период колебаний растет. Если энергия колебаний превышает величину 2gll, то колебания переходят во вращения вокруг оси. Траектории, точно соответствующие этому значению энергии, проходят через верхнее, неустойчивое положение равновесия и период колебаний стремится к бесконечности. Эта траектория разделяет области фазового пространства с различным характером поведения (колебания и вращение) и является сепаратрисой. Стрелки на рисунке указывают направление движения. [c.45] Таким образом, рассмотренный маятник относится к гамильтоновым системам, которые, как известно, консервативны. [c.45] Пространстве. Элемент объема в фазовом пространстве можно рассматривать как множество начальных условий. В процессе эволюции это множество преобразуется в другой элемент фазового пространства (каждая точка следует своей фазовой траектории), объем которого должен оставаться постоянным. [c.46] Следует подчеркнуть, что сохранение объема не подразумевает при этом сохранения формы, так как сохранение объема может достигаться двумя различными способами. В первом случае элемент фазового объема переносится вдоль траектории практически без деформации. Во втором случае происходит экспоненциальное удлинение объема в некотором направлении с одновременным сжатием в перпендикулярном направлении (также экспоненциальным). Хотя фазовый объем сохраняется в обоих случаях, поведение системы отличается принципиально. В первом случае траектории, близкие в начальный момент времени, остаются близкими - траектории (а следовательно, и решение) устойчивы. Во втором случае малое начальное возмущение приводит к быстрому расхождению траекторий со временем - они не устойчивы. [c.46] Отметим еще одно свойство консервативных систем, состоящее в том, что они инвариантны к обращению времени (замене на - ) В случае маятника это означает, что если его движения заснять на видеофильм, то фильм можно прокручивать в обоих направлениях и отличить правильное направление от обратного по воспроизводимым движениям маятника будет невозможно. [c.46] Таким образом, при любом положительном значении коэффициента трения энергия убывает со временем, стремясь в конечном итоге к нулю (отрицательной энергия стать не может). Это означает, что семейство траекторий, представлявшее собой в отсутствие трения множество концентрических окружностей, превращается теперь во множество траекторий, сходящихся к началу координат. На рисунке 2.3 показаны фазовые портреты маятника с трением для малого (а) и большого (б) трения. В первом случае характерное время затухания значительно превышает период колебаний и траектории представляют собой спирали с малым шагом. Соответствующий фазовый портрет называется фокусом. Во втором случае затухание происходит за время, меньшее периода. Колебания становятся апериодическими, а портрет называется узлом. В обоих случаях все фазовые траектории заканчиваются в одной точке, которая называется притягивающей точкой или аттрактором. [c.47] Рассмотренный пример иллюстрирует еще одно важнейшее свойство диссипативных систем - сжатие площадей (объема) в фазовом пространстве. Объем любого множества начальных условий уменьшается в среднем во времени. Однако, как и в консервативных системах, эволюция множества может происходить различным образом. Иногда (как в простом маятнике с трением) это множество равномерно стягивается в точку (или стремится к предельному циклу) и все траектории сближаются со временем. Но не всегда уменьшение объема подразумевает неизбежное сокращение длин. Растяжение объема в одном направлении может компенсироваться более эффективным сжатием в другом направлении. Эти два сценария сжатия фазового объема показаны на рисунке 2.5. [c.48] Последнее принципиальное отличие диссипативных систем от консервативных связано с тем, что они не инвариантны к обращению времени. Если фильм о затухающем маятнике просматривать в обратном направлении, то маятник станет раскачивающимся. [c.48] Приведем простой пример диссипативной системы из живого мира. Это модель системы жертва - хищник. Система бесспорно диссипативна, так как в отсутствие пищи любая биологическая популяция вымирает. [c.48] Пусть в изолированном лесу обитают только зайцы и волки, за популяциями которых мы и собираемся следить (л - количество волков, п - количество зайцев). Фазовое пространство есть в этом случае один квадрант на плоскости п,Щ, так как отрицательные значения для численности животных не возможны. Постараемся нарисовать фазовый портрет системы, не выписывая уравнений. [c.48] Какие параметры определяют возможные сценарии развития жизни в лесу Это рождаемость обоих видов, естественная смертность, аппетит волков. Очевидно, что у каждого вида есть наименьшее критическое число (соответственно, и и N ), необходимое для того, чтобы вид мог воспроизводиться. Отложим на осях эти критические значения и подумаем, как может развиваться система если начальные условия задают старт фазовой траектории вблизи осей координат. Ясно, что решающим является число зайцев. Если количество зайцев не достаточно для поддержания вида, то вымрут зайцы, а следом с неизбежностью вымрут и волки. Если мало волков (N N ), а зайцев достаточно, то после вымирания волков численность популяции зайцев (в упрощенной модели) будет зависеть только от наличия травы в нашем лесу (обозначим это число как п ). Таким образом, в системе выявились две притягивающие точки, каждая из которых имеет свою область притяжения. [c.48] Вернуться к основной статье