ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы О применении формул размерности при изменении единиц из "Анализ размерностей" Мы видели в последней главе, как получаются формулы размерности некоторой величины при помощи величин, избранных по определению первичными. Наш метод анализа показал также связь между числовым значением производной величины и величин первичных. Если, например, длина входит в формулу размерности в первой степени, то мы знаем, что число, измеряющее эту величину, удваивается, если единица длины уменьшается вдвое иначе говоря, числовые меры находятся в обратном отношении к размеру единицы, возведенной в степень, указанную в формуле размерности. [c.37] Этот метод применения формул размерности часто весьма удобен и является простейшим и наиболее надежным способом изменения единиц из тех, которые мне известны. [c.38] Оперируя таким образом с формулами размерности, мы приписываем им некоторую вещественность, подставляя вместо символа первичной единицы конкретную применяемую единицу и заменяя ее другой, ей физически эквивалентной. Иначе говоря, мы обращаемся с формулой размерности так, как будто бы она изображает операции, действительно произведенные над физическими предметами, как будто бы мы взяли определенное число футов и поделили его на определенное число секунд. Разумеется, на самом деле все это не делается. Не имеет смысла говорить о делении длины на время в действительности мы оперируем с числами, являющимися мерой этих величин. Этот условный способ выражения позволителен, однако, в том случае, если он дает значительные преимущества не следует, впрочем, думать, что при этом мы оперируем с физическими предметами не символически, а как-нибудь иначе . [c.38] Такая точка зрения кажется вполне возможной, а в отношении результатов ее нельзя отличить от взглядов, изложенных мною. Однако, мне кажется, что рассматривать символы формул размерности, как напоминание о правилах операций, физически примененных при получении числовой меры величины, — это значит удерживать несколько более тесную связь с действительной физикой положения. Считать символы формул размерности только представителями множителей, применяемых при изменении одних единиц на другие, есть в большей или меньшей степени софизм, непосредственно не интересующий нас при первом ознакомлении с явлением. [c.39] Здесь очевидно переплетаются две задачи. Одна состоит в том, чтобы найти формулу размерности кинетической энергии относительно силы, длины и времени, другая заключается в нахождении нового значения числового коэффициента для той частной системы, в которой единица силы есть дина, единица длины — сантиметр и единица времени — секунда. [c.39] Правильное соотношение между формулами размерности двух систем можно просто установить следующим образом составляется формула размерности в первой системе и разрешается относительно величины, которая во второй системе считается вторичной. [c.40] Нам нужно прежде всего знать размерность 1 г в единицах дина, см и сек. [c.40] Результат — в правильности которого мы убеждаемся непосредственно. [c.40] Рассмотрим теперь общий случай, когда нам нужно от системы с основными единицами Хг, Х2, Х3 перейти к системе с основными единицами Уг, 2, 3. [c.41] Прежде всего нужно найти формулы размерности х, 2, з в единицах Хх, Х2, Х3. [c.41] Пусть размерность 1 будет а1, Я2, аз 2 — 1, з — Сх, С2, сз относительно Хх, Х2, Х3. [c.41] Получаем очень отрадный простой результат. [c.43] В этом и состоит искомый ответ. Заметим, что в результате содержатся только две новых единицы вместо трех, выпало 2 НР . Разумеется, это возможно только в частном случае. Можно было бы думать. [c.43] Следует сделать два замечания по поводу указанных преобразований. Во-первых, не всегда возможен переход от одной системы единицы к другой, необходимо, чтобы выполнялось определенное условие. Оно состоит просто в том, что уравнения, выражающие единицы одной системы через единицы другой, должны иметь решение. Это условие равносильно тому, что преобразованные уравнения после логарифмирования имеют решение говоря иначе, это условие состоит в том, что система линейных уравнений имеет решение, т. е. что детерминант коэффициентов этих линейных уравнений не равен нулю. Так как коэффициенты наших линейных уравнений (после логарифмирования) являются показателями в первоначальных формулах размерностей, то наше условие равносильно следующему детерминант показателей формул размерностей основных величин одной системы не должен равняться нулю в другой системе. [c.44] Поэтому, желая выполнить преобразование, мы должны сначала убедиться, возможно ли оно вообще, для чего нужно составить детерминант показателей. Если последний равен нулю, то преобразование невозможно. Это значит, что одна из новых единиц, на которых мы хотим построить новую систему измерений, не является независимой от остальных. Если бы, например, в нашей задаче мы взяли вместо 5 эрг в качестве третьей единицы новой системы 5 дин , мы бы нашли, что детерминант равен нулю, и преобразование стало бы невозможным. Это ясно и из других соображений лошадиная сила есть работа в единицу времени и имеет размерность произведения силы на скорость, поэтому предлагаемая третья единица, имеющая размерность силы, может быть получена делением первой на вторую единицу, и, следовательно, зависит от них. [c.44] Второе замечание состоит в том, что новая система единиц должна содержать такое же число основных единиц, как и первая система. Если это не так, то, за исключением отдельных случаев, мы будем иметь большее или меньшее число уравнений, чем требуется для выражения новых единиц через прежние. В первом случае решение неопределенно, во втором решения вовсе нет. [c.44] Вернуться к основной статье