ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы численного интегрирования систем жестких уравнений химической кинетики из "Моделирование критических явлений в химической кинетике Издание 2" Трудности решения задач химической кинетики связаны с тем, что скорости различных стадий часто отличаются на несколько порядков, причем пренебречь ни одной из них нельзя. Что касается размерности, то в последнее время при моделировании различных химических процессов часто привлекаются схемы реакций, включающие несколько десятков реагентов и сотни элементарных стадий. Число реагентов определяет размерность системы дифференциальных уравнений, а число стадий отражает сложность правых частей. [c.273] Раздел написан совместно с Е. А. Новиковым с использованием [309. [c.273] Здесь Уп, / — гладкие вещественные -мерные вектор-функции, I — независимая переменная, обычно время, И — шаг интегрирования, (р/ — заданная гладкая вектор-функция, зависящая от правой части дифференциальной задачи. Заметим, что рассмотрение автономной задачи (П7.3) не ограничивает общности, так как при необходимости за счет увеличения размерности системы на единицу можно свести неавтономную систему к автономной. [c.274] Определение 2. Метод (П7.4) называется устойчивым для данного ЛЛ, если для него выполняется неравенство Q Xh) 1. Область К комплексной плоскости называется областью устойчивости метода (П7.4), если (П7.4) устойчив при всех Хк К. Пересечение области устойчивости с действительной осью называется интервалом устойчивости. [c.274] Как известно, области устойчивости явных методов ограничены в левой полуплоскости. Поэтому для явных методов шаг интегрирования на всем промежутке интегрирования ограничен в силу неравенства Лтах / В, где Лщах есть максимальное собственное число матрицы Якоби, а положительная постоянная связана с размером области устойчивости. С другой стороны, элементарные стадии протекают с сильно различающимися скоростями и поэтому длина интервала интегрирования (характерное время реакции) значительно больше 2)/ Лтах - В результате интегрирования при условии Лтах Л В оказывается непосильным для современных ЭВМ. [c.274] Интенсивное исследование неявных методов началось в 1963 г. после работы Далквиста [309], в которой он ввел понятие 4-устойчивости. [c.274] Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276] Заметим, что задачах химической кинетики матрица А плохообусловленная и поэтому возникают определенные трудности с вычислением и А е - /). Подробно данный метод анализируется в работах Р. П. Федоренко. [c.279] В заключение отметим, что мы не касались вопросов программной реализации описанных алгоритмов. Эта часть проблемы, а также задачи, связанные с созданием специального программного сервиса, безусловно являются важными с точки зрения автоматизации процесса решения прямой кинетической задачи. [c.280] Вернуться к основной статье