ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Связь параметров распределения со случайными погрешностями химического анализа из "Математическая обработка результатов химического анализа" Чтобы наглядно представить себе смысл этих важнейших для математической статистики понятий, рассмотрим некоторую, близкую к реальной ситуацию под углом зрения химического анализа. [c.67] Предположим, что перед химиком-аналитнком стоит задача аттестовать большую партию однотипных изделий на содержание некоторого компонента. Пусть, для определенности, это будет партия из 10 тыс, германиевых диодов, которые необходимо охарактеризовать содержанием примесных элементов мышьяка, железа и кремния. Очевидно, что технологический режим изготовления полупроводниковых изделий должен обеспечить постоянство химического состава всех изделий данной партии. Однако в любом процессе существует большое число неконтролируемых фактов, которые не могут быть устранены даже при самой тщательной отработке технологического режима. Поэтому содержание примесных элементов будет несколько колебаться от изделия к изделию. Иными словами, концентрация примесных элементов будет случайной величиной. Естественно, что аналитик в целях аттестации не может подвергнуть анализу все 10 тыс. изделий, ибо это связано с чрезмерными затратами времени и средств и разрушением изделий. [c.68] Для характеристики всей партии аналитик отберет некоторое относительно небольшое число изделий и проведет в них определение примесей, Очевидно, среднее содержание, найденное при анализе нескольких образцов, можно считать мерой содержания примеснЫх элементов во всей партии. Этот общепринятый метод исследования массовых явлений носит название выборочного ме-тдда. Отобранная для анализа часть изделий называется выборкой или выборочной совокупностью, срвокупность всех изделий — генеральной совокупностью. В равной степени оба эти понятия могут быть отнесены также и к содержанию примесных элементов, и к результатам химического анализа на эти элементы. Выборка, очевидно, должна возможно более походить на генеральную совокупность, чтобы по ией можно было более или менее строго судить о последней. Это означает, что если в генеральной совокупности можно выделить отдельные группы или классы, отличающиеся друг от друга по тому или иному признаку, в выборке онн должны быть представлены приблизительно в гой же пропорции. Если это условие соблюдается,, выборку можно считать представительной. [c.68] Поскольку выборочная совокупность всегда имеет конечный объем и составляет тодько более или менее представительную часть генеральной, необходимо ясно представлять себе, что вполне точная количественная характеристика последней по существу недостижима. С другой стороны, чем представительнее выборка, тем более надежные данные могут быть получены при ее статистической обработке. [c.69] Вопрос о представительности выборки того или иного объема и близости параметров выборочной совокупности. к параметрам генеральной совокупности непосредственным образом связан не только с объемом выборки, но и с функциями распределения изучаемых случайных величин. [c.69] Функции распределения. Наиболее общий способ задать вероятности тех или иных значений случайной величины любой при-, роды, включая непрерывные величины, состоит в использовании функций распределения. Они могут быть представлены в графической форме или в виде явной функциональной зависимости, где аргументом всегда является значение или набор значений случайной величины, а функцией — вероятность этих значений случайной величины или производная от нее. [c.69] Функция F(x) обладает следующими свойствами, вытекающими из ее вероятностной пр ироДы. [c.69] Поскольку два альтернативных случая х С а а х а взаимно дополняют друг друга до достоверного события, это свойство достаточно очевидно. [c.70] Иначе говоря, плотность вероятности есть производная интегральной функции. [c.70] Геометрически функция ф(х) может быть представлена любой непрерывной кривой, лежащей целиком не ниже оси абсцисс, нормированной таким образом, что площадь под кривой, ограниченная осью абсцисс, во всей области существования аргумента равна I (рис. 26). Доля площади под кривой, ограниченная осью абсцисс и прямыми х = а и х — Ь, есть вероятность того, что случайная величина принимает значения на интервале [а,6]. Параметры распределения. Наиболее полной характеристикой случайной величины является ее функция распределения. Как правило, это довольно сложный объект. Поэтому в ряде задач при описании случайных величин ограничиваются простыми их характеристиками, а именно, теми или иными параметрами функций распределения. Важнейшими из таких параметров являются математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x) случайной величины X. [c.71] Последнее свойство справедливо только для независимых случайных величин. Величины являются независимыми, если каждая из них принимает то или иное значение независимо от того, какое-значение приняла другая величина. Отметим, что математическое ожидание биномиального распределения равно пр, а в распределении Пуассона М х)=а. Использование перечисленных свойств, облегчает вычисление среднего. [c.72] Дисперсией D(x) случайной величины называется математическое ожидание случайной величины [j — M(j )]2. [c.73] Эту величину принято называть выборочной дисперсией и обозначать символом (от англ. Standard). [c.73] Диспёрсия, является удобной естественной мерой рассеяния слу- чайной величины, поскольку в равной степени учитывает отклонения отдельных результатов от среднего как в больщую, так и в меньшую сторону и одновременно усредняет их по всем результатам. [c.73] Три первых равенства означают, что дисперсия постоянной величины равна нулю, дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины, а дисперсия случайной величины, умноженной на постоянный множитель, изме няется пропорционально квадрату этого множителя. [c.74] Последнее равенство справедливо для независимых случайных величин. Несоблюдение данного равенства есть признак, указывающий на наличие так называемой стохастической связи между величинами х и у (см. 2 гл. V). [c.74] Отметим также, что D(x) 0, т. е. дисперсия всегда положительна (или равна нулю). Перечисленные свойства позволяют проводить расчет дисперсии, не прибегая к громоздким вычислениям. [c.74] Второй член формулы (3.11) равен нулю, поскольку постоянная Со (центр рассеяния) выбрана как среднее арифметическое. [c.74] Эта величина получила название стандартного отклонения (выборочное стандартное отклонение). Она имеет ту же размерность, что сама случайная. величина х и ее математическое ожидание Щх). [c.75] Вернуться к основной статье