ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Поведение решений в точках непрерывной части спекСпектр дифференциального оператора Хилла из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" При доказательстве обеих лемм и далее будем для определенности считать т==2. [c.266] Предполагая противное, получим О (Яр 1) О, а так как для точек Q, близких к Рр очевидно, О (Рр Р) О, то существует внутри круга РоС / область, на границе которой 0(Рр Q) = 0 но тогда в этой области О (Рр ) = 0, что абсурдно. [c.268] Таким образом, неравенство (9) установлено, и можно приступить непосредственно к выводу неравенства (6). [c.268] Эта оценка установлена для достаточно малых / , но так как правая часть полученного неравенства возрастает при возрастании / , то лемма 2 доказана полностью. [c.268] Доказанные леммы близки к одной геометрической теореме С. Н. Бернштейна, связанной с эллиптическими дифференциальными уравнениями ([12], см. также [2]). [c.269] Т ким образом, имеет место следующая теорема. [c.269] Если X — изолированная точка множества D L), то, как показывает следующая теорема 2, можно оценить снизу скорость стремления функции ср(Р X) к нулю. [c.269] Из этой интегральной оценки легко получить оценку (12) для (р(Р А.), если воспользоваться леммой 2. [c.271] Полученное неравенство (20) при у] т] противоречит установленному соотношению (18). [c.272] Таким образом, в случае [л.о=5 со теорема доказана. Если же Ло = оо, то при любом х и соответствующем значении С = С([х) имеет место оценка (19), но тогда из леммы 2 следует такая же, с точностью до мультипликативной постоянной, оценка для р(Р X), так что теорема доказана полностью. [c.272] ДЛЯ любого г Гд, где = Гд (8). [c.273] В частности, при е==0 отсюда вытекает Теорема 5 [108(1)]. Если при данном X существует ограниченное решение ср(Я X), то S L). [c.274] Вопрос об обращении этой теоремы будет рассмотрен в п°п°55 и 58. [c.274] Следующей леммой устанавливается, что график решения у(. ) уравнения (31) не может иметь высоких пиков , то есть при достаточно малом и не зависящем от радиусе 8 окрестности точки величина у(. ) не может с обеих сторон от принимать слишком малые по сравнению с I у ( о) I значения. Доказательство этой леммы по своему характеру близко к доказательству известных дифференциальных неравенств С. А. Чаплыгина. [c.276] В следующей лемме через р(Х) обозначена спектральная функция оператора L. [c.277] ЧТО и требовалось установить. [c.279] Доказательство. Пусть / (Х) есть произвольная функция из гильбертова пространства р(—а, а), в котором знак скалярного произведения и нормы будем сопровождать индексом р. [c.279] Так как в силу (45) т] - 0 при т- сю, то из полученного неравенства следует, что при некотором значении постоянной С (к) соотношение (46) выполнено для почти всех X по р-мере, что и требовалось установить. [c.281] В связи с вопросом о поведении решений в точках непрерывной части спектра см. также ниже п°58. [c.281] Вернуться к основной статье