ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Регуляризация схем второго порядка точности из "Численное моделирование процессов тепло- и массообмена" С другой стороны, точные схемы имеют и некоторые существенные недостатки. Они требуют большей гладкости решения, поскольку в ошибку аппроксимации входят производные высоких порядков. При недостаточной гладкости решения формальное повышение точности схемы может привести к увеличению фактической погрешности ж искажению качественных черт приближенного решения. [c.75] Ниже на примерах будет показано, что схемы второго порядка точности не обладают основными свойствами дифференциального уравнения (3.1.1) — позитивностью и монотонностью. Вследствие этого при расчете негладких и разрывных решений могут возникать различные патологические эффекты, осложняющие интерпретацию численных результатов. Для подавления этих искажений применяются различные приемы регуляризации. [c.75] как обычно, к — число Куранта. При к 1 имеем и1-1 О, т. е. свойство позитивности нарушается. Легко видеть, что нарушение позитивности наиболее выражено при /с = 0,5. Для /с = 0,5 имеем —0,125, 0,750, = 0,375. Пользуясь схемой явный уголок (3.2,1), находим и1= 0,5, и 0,5 прочие значения на нервом слое — нули. [c.76] В табл. 3.4 сопоставлены результаты расчетов по рассматриваемым схемам для п = 2 (при А = 0,5). [c.76] Очевидно, что с качественной точки зрения схема явный уголок лучше воспроизводит точное решение (и = 1 при ж = I, U = О при X =7 i). [c.76] Для того же уравнения рассмотрим краевую задачу с условиями О X +0О, и(0, х) = О, uit, 0) = 1. [c.76] Имеются заметные нарушения монотонности. Осцилляции на верхнем уровне (м 1) достигают +26% и —18%. [c.77] При а 0,5 имеем 1 сгл1 1, т. е. сглаживание не нарушает устойчивости основной схемы. При а 0,25 с увеличением 0) от О до п/Ь, модуль Л.СГЛ монотонно уменьшается, так что высокие гармоники подавляются сглаживанием сильнее. Влияние параметра сглаживания а на Ясгл количественно характеризуется данными табл. 3.6. [c.77] Применение сглаживания требует остороншости и некоторого глазомера, что приобретается опытом. Большей опасностью представляется завышение красивые гладкие кривые воспринимаются обычно мепее критически, чем графики, испещренные осцилляциями. [c.78] Представление параметра сглаживания в виде а = = ъх/К облегчает выбор для него подходящих значений И выявляет его зависимость от шагов сетки т, к. По аналогии с вязкостью аппроксимации слагаемое гд и/дх в уравнении (3.5.5) можно назвать вязкостью сглаживания . [c.78] Уравнение (3.5.6) решается с помощью трехточечной прогонки (см. п. 2.2.5). Легко убедиться в том, что неявное сглаживание устойчиво при любых положительных значениях а. Поэтому оно применяется в тех случаях, когда нужна интенсивная регуляризация (например, при расчете разрывных решений). [c.79] Так как профиль решения на последующем слое несколько смещен относительно профиля на предыдущем слое, то целесообразно сглаживающую добавку записывать на верхнем слое. При обособлении этапа сглаживания это делается автоматически. [c.79] Для неявных схем (3.3.1), (3.3.7) коэффициенты 0,5 при выражениях, аппроксимирующих а ди/дх на верхнем и нижнем слоях, заменяются соответственно на 0,5 + и 0,5 — fl, где г — положительное число. Легко видеть, что при этом в составе погрешности аппроксимации появляется слагаемое цт d u/df. При / О и а = onst оно преобразуется к виду е д и/дх , е = (гто. [c.80] Вернуться к основной статье