ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычисление частных производных функции Ф(а) из "Построение математических моделей химико-технологических объектов" Все методы поиска минимума функции многих переменных основываются на знании градиента Ф(й) или частных производных (ЗФ/(За х (г = 1,2,. .., п х = 1,2,. .., к). Нахождение функций 0ф/(3а,ц на кахедом г-м шаге является наиболее трудоемкой задачей при поиске минимума Ф(а). [c.234] Для построения вектора grad требуется nk + 1 раз проинтегрировать систему уравнений (1Х. 3). Время интегрирования 4 системы (IX. 3) примерно в TJh раз больше времени вычисления на ЦВМ функций fi в задаче нахождения параметров уравнений статики ( X. 4), (IX. 5). Обычно /г (0,01 -н 0,0001)/ н, поэтому затраты машинного времени на определение / (О и gradФ(а) возрастают на 2—4 порядка по сравнению с вычислением градиента функций (IX. 4), (IX. 5). [c.235] Разностная схема вычисления производных проста с точки зрения составления программы расчета, но требует больших затрат машинного времени. Сокращение их возможно при решении задачи на аналого-цифровом вычислительном комплексе (АЦВК). [c.235] Простейший АЦВК состоит из ЦВМ, аналоговой вычислительной машины (АВМ), преобразователей информации аналог — двоичный код (ПАК), код — аналог (ПКА), код — параметр (ПКП) и синхронизатора [10]. Структурная схема АЦВК приведена на рис. IX. 9. Принцип работы заключается в следующем. Задача разбивается на две части, которые одновременно решаются на АВМ и ЦВМ. Сигналы от АВМ поступают на ПАК и преобразуются в 8—10 разрядные двоичные коды, которые в моменты времени sT (s = О, 1,2,. .. Т — период повторения) вводятся в ЦВМ. Цифровая вычислительная машина выполняет над кодами необходимые арифметические и логические действия и выдает преобразованные коды на ПКА или ПКП. Далее ЦВМ останавливается до получения нового кода в момент (s-f 1)Г. Кусочно-постоянное напряжение от ПКА поступает в определенные узлы схемы АВМ. Синхронизатор предназначен для управления работой преобразователей и ЦВМ. [c.235] При подготовке задачи к решению на АЦВК учитывают преимущества и недостатки каждой из машин. ЦВМ является устройством последовательного действия, все математические операции в нем заменяются совокупностью сложений, которые реализуются в сумматоре за конечное время. Поэтому ЦВМ сравнительно медленно интегрирует дифференциальные уравнения, но может точно вычислять нелинейные зависимости и запоминать результаты. [c.235] Аналоговай вычислительная машина является устройством параллельного действия. Она содёржит ряд сумматоров и интеграторов. Интегрирование дифференциальных уравнений на АВМ выполняется весьма быстро, но точность вычисления нелинейных зависимостей не высока. АВМ не может решать сложные логические задачи и запоминать результаты. [c.236] При решении на АЦВК задачи отыскания условного минимума Ф(а) интегрирование в ускоренном масштабе времени системы уравнений (IX. 3) поручают АВМ запоминание решений, вычисление Ф(а ), Ф(а + Да) и частных производных дф d )/дai l выполняет ЦВМ. Она же вычисляет некоторые, наиболее нелинейные , элементы функций системы (1Х.З), с помощью ПКП производит поочередное варьирование параметров на величины Да,ц и изменяет их на величину а дф а ) /дai x на г-й итерации градиентного спуска. [c.236] Точность интегрирования уравнений (1Х.З) на АВМ невелика, поэтому на АЦВК следует определять только контуры оврагов , а более точное исследование производить на ЦВМ. Практика определения коэффициентов уравнений кинетики сложных реакций на АЦВК показала уменьшение затрат машинного времени в 8—20 раз по сравнению с временем решения на ЦВМ. С учетом дополнительного исследования дна оврага на ЦВМ общие затраты машинного времени сократились в 3—5 раз. [c.236] Частные производные (5Ф(а)/(5агц можно находить аналитическим методом — через решение некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений. [c.236] ТО получаем систему (IX. 39) из (л + )пк линейных, точнее, линеаризованных в малом, дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дfi дyg ( = 1, 2,. .., п, /г+1). В теории автоматического управления выражения (IX. 39) называются уравнениями чувствительности, а функциями чувствительности. Зависимость г (/) характеризует степень влияния вариаций параметра а,х на отклонения траекторий (/ (/). [c.238] Для нахождения Ч + ( ) требуется на каждом г-м шаге градиентного спуска интегрировать систему уравнений (IX. 3) и (IX. 39). Линеаризованная система (IX. 39) содержит п + )пк уравнений. Частные производные дfi dyg находятся заранее, а в процессе интегрирования вычисляются их значения на решениях г/, (О при а= х 0 = у ф) = у (Ч). Так же находятся и производные [укажем, что при дифференцировании /г по Огц решения У () считаются независимыми от параметров]. [c.238] Аналитическое определение производных ЗФ(а)/ агц связано с существенным усложнением программы решения задачи на ЦВМ п увеличением объема запоминаемой информации. Однако при некоторых условиях оказывается выгоднее (в смысле затрат машинного времени) один раз интегрировать систему из /г + 1 нелинейных и (п + )пк линейных уравнений, чем пк -Ь 1 раз находить решения системы (IX. 3), состоящей из п нелинейных зависимостей. В работах [11, 12] показаны примеры вычисления частных производных функций типа Ф(а) аналитическими методами. [c.238] Вернуться к основной статье