ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые теоремы об устойчивости движения неконсервативных систем из "Избранные труды" В данной работе уравнения Лагранжа обобщаются на системы с неидеальными связями (сухое трение). [c.29] Система уравнений (1.3) и (1.4) достаточна для полного решения задачи, если связь идеальная, т. е. сила трения не совершает работы. Остановимся пока на этом случае и укажем некоторые следствия уравнений (1.3) и (1.4), сделав предварительно следующ,ее замечание если оба соприкасающ,ихся тела принадлежат рассматриваемой системе, то в уравнениях (1.1) — (1.4) ничто не изменится необходимо только помнить, что в этом случае V, v, v — составляющ,ие относительной скорости точки Р одного тела по отношению к другому. Случай нескольких точек соприкосновения усложняет уравнения, не внося ничего принципиально нового. [c.30] Пользуясь этим выражением, вводим эти силы в уравнения движения, при этом уравнения (1.3) сохраняют свою форму, но несколько усложняются. [c.30] В неравенство (2.4) входят только координаты, обобщенные скорости и заданные силы, а потому можно проверить для любого момента, соблюдается оно или нет равенство (2.4) представляет в пространстве состояний 2п измерений уравнение поверхности, которая разделяет состояния (д , /1), для которых уравнения (2.2) справедливы от состояний (д/ С ) при которых наступает скольжение. [c.32] Число уравнений (3.2) и (3.3) достаточно для исследования движения системы, пока остаются справедливыми условия (3.1). [c.32] Следовательно, при малых коэффициентах трения можно сначала определить нормальные реакции, пренебрегая трением, а затем добавить к заданным силам силы трения. В этом случае с изменением всех скоростей на противоположные ни нормальная реакция, ни силы трения своей величины не меняют. [c.33] Добавив это равенство к уравнениям (3.2) и разрешая полученную систему по отношению к и Ж, мы опять пришли бы к прежним соотношениям, но теперь в правые части их входила бы производная Ь . [c.34] Если неравенство /V О не может быть удовлетворено при 1 = О, то может быть удовлетворено равенство = О надлежащим выбором 7 . Таким образом, при заданных начальных условиях система покинет связь. Что же касается дальнейшего движения системы, то оно может быть исследовано только после уточнения характера связей. [c.34] Нетрудно построить траекторию изображающей точки на фазовой плоскости и подробно исследовать затухание колебаний. [c.35] Уравнение движения гироскопа будет иметь вид яр + 3 = На. [c.36] Здесь о — амплитуда колебаний рамки .1 — частота (угловая) колебаний рамки. [c.37] В гироскопических системах, находящихся вне гравитационного поля, сухое трение в подшипниках сводится к жидкостному. То же самое имеет место в поплавковых гироскопах, находящихся в обычных эксплуатационных условиях. [c.37] Если учесть, что в современной технике приборостроения имеются разработанные приемы осуществления искусственным путем различных категорий сил, то полезно предвидеть заранее, какой эффект можно получить добавлением сил той или иной категории к тем силам, которые действуют па систему в ее естественном состоянии. [c.38] Ниже изложены некоторые теоремы, позволяющие ответить на поставленные вопросы теоремы не являются исчерпывающими, но они позволяют ориентироваться в этом круге вопросов, прежде чем переходить к детальному исследованию устойчивости хорошо известными приемами. [c.38] Труды Военной акад. бронетанковых войск, 1952, 11 — 12. [c.38] Не останавливаясь на выводе этих хорошо известных соотношений, отметим только, что Г, У, ), Г и — действительные величины и, кроме того, Т — определенно-положительная квадратичная форма мы предположим, что и Д — также определенно-положительная квадратичная форма, т. е. мы будем рассматривать системы, в которых диссипативные силы имеют обычный характер сил сопротивления. Разложение, которым мы воспользовались выше, может привести к диссипативной функции иного характера. [c.40] Постоянные и Лз не являются произвольными, так как они удовлетворяют системе уравнений (4), а потому могут быть заменены алгебраическими дополнениями элементов первой строки определителя (5). Каждому корню характеристического уравнения (5) соответствует своя система форм для действительного корня Г АА ) = 0, Е АА ) = 0. [c.40] Если функция V — потенциальная энергия системы — определенно-положительная квадратичная форма, мы будем говорить о статически устойчивой системе или об устойчивом установившемся движении (состоянии) системы если же функция V не удовлетворяет этому условию, то установившееся движение (состояние) системы будет неустойчивым или безразличным. [c.40] Исследуем уравнение (7), которое можно было бы после надлежащих преобразований привести к характеристическому уравнению, не содержащему произвольных постоянных оно отличается от характеристического уравнения только группировкой слагаемых, благодаря чему имеет вид квадратного уравнения относительно 11. Уравнение (7) определяет два корня — Их и 1И2, которые не являются сопряженными этим корням соответствуют свои системы значений (Л и Л/ ) и (Л и постоянных 5. В этом уравнении корням х и Х2 соответствуют различные системы коэффициентов Г, и т. д. Конечно, из уравнения (7) нельзя определить корни, так как они неявно содержатся в коэффициентах фор Г, У и т. д., но в некоторых случаях можно судить о характер этих корней. [c.40] Последнее неравенство и выражает условие устойчивости неконсервативных систем. [c.41] Вернуться к основной статье