ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимальный профиль с ограничениями на температуру процесса из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Задача оптимизации ставится как задача определения такого температурного профиля, при котором заданное значение концентрации продукта Р на выходе реактора может быть достигнуто при минимальном времени пребывания реагентов в аппарате. [c.234] Соотношения (V, 174) и (V, 176) в параметрической форме определяют решение дифференциального уравнения (V, 172). Для нахождения постоянных интегрирования i и С2 необходимо применить граничные условия (V, 103) и (V, 104). Кроме того, расчету подлежат начальное s(°) и конечное sW значения параметра s, для чего может быть использовано то обстоятельство, что начальное °) и конечное значения. независимой переменной, а также значение я °) известны. [c.236] Для того чтобы убедиться, что найденная экстремаль действительно является решением исходной оптимальной задачи, т. е. обеспечивает максимальное значение функционала (V, 44) [или минимальное значение x(ft), так как на основании уравнения (V, 47) f(ft) = —I/ko], необходимо проверить выполнение условия Лежан-дра (V, 67) для всех точек экстремали, описываемой уравнениями (V, 189) и (V, 190). [c.238] Это означает, что найденная экстремаль является максималью функционала (V, 44) и, следовательно, решением исходной оптимальной задачи. [c.238] Из выражения (V, 196) следует, что значения z и Т должны увеличиваться с возрастанием концентрации хр, т. е. при увеличении степени превращения исходного реагента А. На выходе из реактора Хр — х и значение z— оо, что соответствует бесконечному возрастанию температуры процесса. При этом из выражения (V, 194) одновременно вытекает, что значение ХА-+ . [c.239] Таким образом, при оптимальном температурном режиме температура повышается с увеличением степени превращения исходного реагента, достигая бесконечно большого значения на выходе реактора, причем при таком режиме в аппарате обеспечивается полное превращение вещества Л. [c.239] На рис. V-9 приведено сравнение оптимальных температурных профилей для различных значений выхода продукта Р. Из рисунка видно, что для реактора, рассчитанного на более высокий выход продукта Р (кривая 2), средняя температура по его длине оказывается ниже, вследствие чего средняя скорость реакции также уменьшается и размеры аппарата возрастают. [c.240] Как было найдено выше, при оптимальном температурном профиле в реакторе идеального вытеснения для реакции (V, 170) температура на выходе аппарата должна быть бесконечно большой. [c.240] Поэтому, с одной стороны, при практической реализации указанного профиля эту температуру приходится ограничивать технологически допустимым значением Tz. [c.241] Поскольку на изотермических участках на основании ограничений (V, 201) не допускается двустороннее варьирование экстремали, для функционалов Л (V, 203) и /3 (V, 205), вообще говоря, нельзя записать уравнений Эйлера. Однако для функционала (V, 204) можно вывести уравнение Эйлера, причем его общее решение совпадает с решением уравнения Эйлера для функционала (V, 44), которое в параметрической форме представляется в виде уравнений (V, 174) и (V, 176). [c.242] Однако постоянная интегрирования С в уравнении (V, 214) может быть найдена лишь тогда, когда известно не только заданное значение концентрации х продукта реакции Р на выходе реактора, т. е. конечное значение независимой переменной функционала (V, 44), но также и конечное значение концентрации исходного вещества А на выходе аппарата, которое в данном случае уже нельзя принимать равным нулю, так как максимальная температура реакции ограничена. [c.243] При дифференцировании выражений (V, 224) и (V, 225) нужно принимать во внимание, что значения и являются функциями величины x(k поскольку постоянные интегрирования t и С2 зависят от значения С4 согласно уравнениям (V, 221) и (V, 222). [c.245] Формула (V, 232) в точности совпадает с найденным ранее выражением для расчета оптимальной температуры на входе реактора при отсутствии ограничений на температуру процесса [см. уравнение (V, 197)]. Этот результат означает, что независимо от ограничения на максимальное значение допустимой температуры процесса оптимальная температура на входе аппарата определяется выражением (V, 197) или (V, 232), если минимальное допустимое значение температуры 7 меньше, чем характеризуемое этим выражением. С учетом формулы (V, 228) можно также найти размеры изотермических участков при максимальной и минимальной температурах в реакторе. [c.246] Из формулы (V, 233) следует, что при оптимальном температурном профиле время пребывания реагентов Тз на изотермическом участке реактора, который соответствует максимальной допустимой температуре Т2, не зависит от значений концентраций х % и х( . и определяется только кинетикой реакции и температурой Т2. [c.246] Из формулы (V, 234) следует, что время пребывания TI уже является функцией концентраций х и х( и обращается в нуль при. равенстве единице выражения, стоящего под знаком логарифма. [c.247] Кроме того, как было отмечено выше (см. стр. 245), размеры неизотермического участка не зависят от заданных значений концентраций. Таким образом, если в реакторе с оптимальным температурным профилем имеются оба изотермических участка при минимальной и максимальной температурах, то изменение значения х(ъ т. е. изменение желаемого выхода продукта реакции Р, сказывается на указанном профиле лишь в области изотермического участка при минимальной температуре Т, время пребывания реагентов на которой в данном случае изменяется. [c.247] Формула (V, 226) может быть использована также для расчета времени пребывания реагентов на неизотермическом участке и при отсутствии ограничения на минимальное значение температуры, так как пределы интегрирования в выражении (V, 226) определяются только величинами крайних температур этого участка независимо от того, есть начальный изотермический участок или его нет, т. е. [c.247] В данном случае для получения зависимости s = S(T) воспользуемся аппроксимацией интеграла (V, 245) на интервале интегрирования 1,75 s 3,0 выражением. [c.250] Результаты расчета по формуле (V, 252) представлены в табл. 7. [c.250] На рис. V-11 показан полученный для случая д = 0,4 температурный профиль, при применении которого заданный выход продукта Р достигается за минимальное время пребывание реагентов в реакторе. [c.250] Вернуться к основной статье