ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Основные этапы математического моделирования процессов из "Методы кибернетики в химии и химической технологии" Выбор и построенпе модели процесса. В каждом конкретном случае математическая модель создается, исходя из целевой направленности процесса и задач исследования, с учетом требуемой точности решения и достоверности используемых исходных данных. При анализе полученных результатов возможно повторное обращение к модели после того как часть расчетов уже выполнена, в нее могут быть внесены коррективы. [c.125] Вначале исследуют гидродинамическую модель процесса как основу структуры математического описания. Далее изучают кинетику химических реакций,. процессов массо- и теплопередачи с учетом гидродинамических условий найденной модели и составляют математическое описание каждого из этих процессов. Заключительным этапом в данном случае является объединение описаний всех исследованных элементарных процессов (блоков) в единую систему уравнений математического описания объекта моделирования. Достоинство блочного принципа построения математического описания заключается в том, что его можно использовать на стадии проектирования объекта, когда окончательный вариант аппаратурного оформления еще неизвестен. [c.126] В отличие от статистических математические модели, которые построены с учетом основных закономерностей процессов, протекающих в моделируемом объекте, качественно более правильно характеризуют его даже нри наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели. Поэтому с их помощью можно изучать общие свойства объектов моделирования, относящихся к определенному классу. [c.127] К ко не чным уравнениям обычно сводится математическое описание стационарных режимов объектов, рассматриваемых как объекты с сосредоточенными параметрами, примером которых является реактор идеального смешения. Кроме того, уравнения этого типа применяют также при математическом описании более сложных объектов для выражения стационарных связей между разными параметрами. [c.127] Дифференциальные уравнения в частных производных используют для математического описания динамики объектов с распределенными параметрами или стационарных режимов таких объектов, в которых распределенность имеется более чем по одной пространственной координате. Для указанных уравнений при описании динамики объекта наряду с начальными условиями нужно также задавать условия, в общем случае задаваемые функциями времени. Для стационарных режимов объектов, характеризуемых уравнениями в частных производных, задают только граничные условия, которые могут зависеть от координат. [c.128] Исследование объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, по имеющему ячеечную структуру. Формально математически замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. [c.128] Моделирующий алгоритм. Задачей разработки моделирующего алгоритма чаще всего является решение системы уравнений математического описания. [c.128] Математическая модель объекта, характеризуемого не очень сложными дифференциальными уравнениями, часто может быть реализована на аналоговой вычислительной машине. Однако самым универсальным средством решения задач математического моделирования являются цифровые вычислительные машины. При этом для решения системы уравнений математического описания необходимо иметь численный алгоритм. [c.129] Для указанных проблем в численном анализе пока отсутствуют эффективные обш ие методы решения, поэтому в каждом конкретном случае при построении моделирующего алгоритма следует использовать особенности решаемой задачи. Существенную помощь может оказать знание физической природы получаемых решений, что иногда позволяет найти хорошие начальные приближения для итеративных процессов или даже разработать эффективные вычислительные алгоритмы. Примером является известный метод потарелочного расчета ректификационных колонн, при применении которого система нелинейных уравнений с большим числом неизвестных решается итеративным методом. [c.129] Проверка адекватности выбранной модели реальному объекту и ее коррекция. Проверка адекватности модели начинается с установления соответствия выбранной гидродинамической структуры потоков изучаемому объекту. Совпадение экспериментальной кривой отклика, найденной ступенчатым, импульсным или частотным методами, с графическим изображением решения является подтверждением возможности использования принятой модели. Экспериментальные кривые отклика получают на опытной установке, геометрически полностью подобной промышленной установке. [c.130] В большинстве случаев наличие застойных зон, а также байпасных и циркуляционных потоков можно установить визуально или нри рассмотрении особенностей внутреннего устройства аппарата с учетом расположения точек ввода и вывода продуктов. [c.130] Наиболее просто установить адекватность рассматриваемого аппарата модели смешения путем нанесения опытных данных о распределении концентраций при ступенчатом вводе индикатора на график в координатах 1п (1 — j ) — х. Если на таком графике получается прямая линия, то ее наклон и отсекаемые ею отрезки определяют параметры модели смешения или ее комбинаций. Это непосредственно вытекает из рассмотренных выше уравнений. [c.130] Следовательно, в координатах 1п (1 — с,/со) — т — модель смешения при ступенчатом вводе индикатора должна давать прямую линию, тангенс угла наклона которой обратно пропорционален времени пребывания в зоне смешения Ijx или, соответственно, 1/то, где то — объем зоны смешения. [c.130] Функции интенсивности произвольных потоков без ярко выраженной не )авномерности в средних характеристиках возрастного распределения располагаются, как показано на рис. П-9, между двумя взаимно перпендикулярными прямыми, соответствующими -функциям идеальных систем. Возрастающий характер этих функций объясняется тем, что чем дольше элемент жидкости остается в аппарате, тем больше вероятность того, что он его покинет. [c.131] По той же причине вначале, когда аппарат покидает главная (проточная) часть потока, будет наблюдаться возрастание Х-функции и для системы с застойными зонами. После выхода основной массы частиц из проточных зон вероятность выхода из системы для оставшихся частиц уменьшается, так как большинство их принадлежит застойным зонам. Таким образом, в этом случае функция интенсивности не будет возрастать неограниченно, а, пройдя через максимум, начнет уменьшаться (рис. И-10). С течением времени частицы среды, попавшие в застойные зоны, постепенно начнут покидать систему. При этом опять чем дольше они будут оставаться в аппарате, тем больше будет вероятность их выхода из системы, т. е. Х-функция, пройдя через минимум, начнет неограниченно возрастать. [c.131] Характер функций интенсивности для потоков с байпасированием объясняется аналогичным образом. При этом по сравнению с предыдущим случаем меняются лишь относительные объемы проточной (байпасной) и застойной (в данном случае основной) части системы. Последнее наглядно отражается в характере зависимости для соответствующей Я-функции, изображенной на рис. П-10. Главное достоинство функций интенсивности заключается в том, что с их помощью факт существования в системе застойных зон устанавливается весьма просто и наглядно. [c.131] На рис. П-11 представлено изменение определителя матрицы вероятности перехода двухконтурной циркуляционной модели для аппаратов с мешалкой и переменной структурой . Модель с переменной структурой, как и следовало ожидать, описывает широкий спектр функций распределения для аппаратов с мешалкой (определитель изменяется от 1 до 0,9), что характеризует ее большую гибкость и универсальность. Чувствительность предлагаемого критерия к изменениям таких параметров аппарата, как положение мешалки и ноложение входа и выхода, говорит, что данный критерий учитывает такие неидеальности, как застойные зоны и проскок, которые критерий Пекле характеризовать не может. [c.133] Для сравнения предложенного критерия и критерия Пекле возьмем ячеечную модель с прямым и обратным потоками, имеюш уго наиболее широкий спектр функций распределения времени пребывания. На рис. П-12 представлены изменения критерия Пекле и критерия неидеальности смешения К в зависимости от числа ячеек т и доли обратного потока а. Для примера найдем оба критерия для аппарата, описываемого моделью, содержащей десять ячеек, и долю обратного потока а, равную 1,6. Критерий Пекле для этой модели составляет 4,8, а предлагаемый критерий неидеальности смешения равен 0,97. Как тот, так и другой критерий показывают, что данная модель близка к модели идеального смешения. [c.133] Таким образом, критерий неидеальности смешения является оценкой для характеристики степени неидеальности смешения не менее универсальной, чем критерий Пекле, и характеризует широкий класс анааратов аппараты колонного типа — ячеечные модели, аппараты с мешалкой — циркуляционные модели. [c.134] Поскольку при разработке математических моделей приходится так или иначе использовать приближенные данные о возможных величинах некоторых параметров уравнений модели, возникает задача коррекции модели. Естественно, что решить задачу можно лишь при моделировании существуюш его процесса. Вместе с тем для коррекции математической модели могут быть с успехом применены и физические модели, воспроизводящие в сравнительно небольших масштабах основные физические закономерности объекта моделирования. Если в данном случае математическая модель удовлетворительно описывает свойства физических моделей, которые между собой также различаются масштабами, например лабораторная и полупромышленная установки, то можно допустить, что, по крайней мере в части основных свойств, математическая модель этой же структуры будет соответствовать и промышленному объекту. [c.134] Вернуться к основной статье