ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Градиентные методы оптимизации из "Методы кибернетики в химии и химической технологии" Градиентные методы оптимизации относятся к численным методам поискового типа. Эти методы универсальны, хорошо нрисно-соблены для современных цифровых вычислительных машин и весьма эффективны в большинстве случаев поиска экстремального значения нелинейных функций с ограничениями и без них, а также, когда функция вообще аналитически неизвестна. Вследствие этого градиентные или поисковые методы широко применяются на практике. [c.153] Различные поисковые методы в основном отличаются друг от друга способом определения направления движения к оптимуму, размером шага и продолжительностью поиска вдоль найденного найравления, критериями окончания поиска, простотой алгоритмизации и применимостью для различных ЦВМ. Техника поиска экстремума осноНана на расчетах, которые позволяют определить направление наиболее быстрого изменения оптимизируемого критерия. [c.153] Выбор удовлетворительного шага предполагает, что производная в следующей точке существенно близка к производной в базисной точке. [c.154] Для нелинейной функции направление градиентного вектора зависит от точки на поверхности, в которой он вычисляется. [c.154] Несмотря на существующие между градиентными методами различия, последовательность операций нри поиске оптимума в большинстве случаев одинакова и сводится к следующему а) выбирается базисная точка б) определяется направление движения от базисной точки в) находится размер шага г) определяется следующая точка поиска д) значение целевой функции в данной точке сравни-чвается с ее значением в предыдущей точке е) вновь определяется направление движения и т. д. до достижения оптимального значения. [c.154] Этот принцип без изменения переносится на любое число переменных, а также на любое число дополнительных условий. [c.155] Известно, что направление этого вектора (см. рис. П-22) совпадает с направлением наиболее крутого возрастания величины Р. Противоположное ему направление — это направление наискорейшего спуска , или, другими словами, наиболее крутого убывания величины Р. [c.155] Эффективность метода крутого восхоясдения зависит от выбора масштаба переменных и вида поверхности отклика. Поверхность со сферическими контурами дает быстрое стягивание к оптимуму. [c.156] Поиск экстре-крутого восхождения. [c.157] Метод применим для отыскания только локальных оптимумов. [c.157] Метод крутого восхождения при наличии, ограничений. При наличии ограничений на изменение параметров целевой функции базисная точка выбирается так, чтобы она лежала в пределах ограничений, и поиск начинают по методу крутого восхождения. После расчета следующей точки оценивается не произошло ли нарушения ограпиче-нип если нарушения нет, поиск продолжается. Когда какое-либо ограничение нарушено, производят расчет градиента в соответствии с учетом ограничений (см. ниже). [c.157] Может быть использован также мётод , согласно которому при одном нарушении ограничений точка возвращается на линию ограничений. Когда существует более чем одно ограничение, и в каждый момент времени новое ограничение нарушается, метод требует, чтобы точки были перенесены к новому ограничению. В этом методе принимается, что оптимум лежит на ограничении. [c.157] По методу Розепброка функция цели видоизменяется введением множителей. Всякий раз, как одно из переменных нарушает ограничения, множитель равен нулю, т. е. функция цели умножается на нуль и поэтому равна Нулю. Если значения переменной находятся в пределах допустимого режима, множитель равен 1 и целевая функция принимает ее полное значение. Однако, когда значения переменной снижаются до пределов, предписываемых пограничной зоной , множительный фактор изменяется параболически от О до 1 в пределах пограничной зоны и целевая функция изменяется от О до ее полного значения. [c.157] Вновь изменяем направление (точка Q), как показано на рис. 11-23, и продолжаем подобные расчеты, пока не достигнем оптимальных условий или, в нашем случае, минимального значения у. [c.158] Дать графическую интерпретацию метода. [c.159] На рис. 11-24 представлена графическая интерпретация рассмотренного метода. Параболы представляют собой контуры целевой функции. Линия ММ дает ограничения в виде неравенства. Только для значений х- и х , лежащих на пинии или вправо от нее, возможно решение задачи. Начальная точка есть точка 1 и следующая точка есть точка 2. На графике видно нарушение ограничений и точка 3 возвращает нас обратно в допустимую область. Решением задачи являются значения переменных х — 0,50 и 2 = 3,5. [c.159] Рассмотренный метод означает движение из нежелательной области ортогонально к ограничению целевой функции. [c.159] Метод двух производных. Этот метод поиска оптимального значения функции основан на том, что на каждом шаге поиска непрерывно к значению независимого переменного добавляется инкремент, равный для данной переменной отрицательному значению отношения первой частной производной ко второй. Указанное добавление осуществляется до тех пор, пока не будут достигнуты оптимальные условия . [c.159] Вернуться к основной статье