ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математический аппарат квантовой механики из "Квантовая механика и квантовая химия" Операторы, отвечающие физическим величинам, должны удовлетворять ряду требований, которые следуют как из общих физических соображений, так и из тех постулатов, которые были сформулированы в 1. [c.42] Принцип суперпозиции и требование линейности операторов квантовой механики, отвечающих наблюдаемым физическим величинам, весьма родственны, хотя и не тождественны. Далее мы будем широко использовать свойство линейности, тогда как принцип суперпозиции будет играть роль некоторой исходной посылки. [c.43] Используемые в квантовой механике операторы, все средние значения которых вещественны, называют эрмитовыми, или самосопряженными, хотя эти два термина имеют несколько различный смысл в математике (см. заключительный пункт настоящего параграфа). [c.43] Здесь было использовано интегрирование по частям и учтено то, что произведение ф при х = обращается в нуль. [c.44] Характерной особенностью функций дискретного спектра является наличие у них интегрируемого квадрата модуля, т.е. эти функции могут быть нормированы на единицу. Коль скоро интеграл по всему пространству переменных, от которых зависят такие функции, сходится, то очевидно, что при стремлении переменных к бесконечности плотность вероятности должна стремиться к нулю, причем достаточно быстро, так чтобы интеграл Ф Р не расходился. Задача со ступенькой из предыдущего параграфа показывает, что если при л — оо разность Е - У(х) О при всех х, то волновая функция будет стремиться к нулю по закону е , где X - некоторая положительная постоянная. Другими словами, волновая функция экспоненциально затухает. [c.48] Если потенциал произвольной квантовой системь[ при стремлении пространственных переменных к бесконечности стремится к некоторому конечному значению У(оо), то при У(оо) у волновой функции будет наблюдаться такого же типа экспоненциальное затухание, а если одновременно и Е У(-оо), то у системы будет дискретный спектр. В противном случае, если Е больше хотя бы одного предельного значения, то, как правило, у системы появляется непрерывный спектр. Непрерывный спектр характерен и для задач с периодическими потенциалами, заданными во всей области изменения переменной л (такие потенциалы обычны при рассмотрении задач о твердом теле). Правда, для многомерных задач положение может оказаться не столь простым, однако на подобных, более сложных, ситуациях мы пока останавливаться не будем. Будем лишь считать, что функции дискретного спектра нормируемы на единицу, тогда как функции сплошного спектра всюду ограниченны и нормируемы на 6-функцию. [c.48] Коль скоро левые части в этих цепочках равенств одинаковы, должны совпадать и правые части, что вполне определенно свидетельствует о том, что а, должно быть вещественным. По существу, этот результат у нас уже был получен в п. б, где речь шла о средних значениях вида I А I г ) . Равенство (8) к тому же показывает, что если функция ) (или г ) ) нормирована на единицу, среднее значение оператора А на такой (собственной для него) функции равно собственному значению. [c.49] Если а,, то это равенство будет выполняться только при условии Ц), I = 0. Две функции, удовлетворяющие такому соотношению, называются (взаимно) ортогональными. Следовательно, собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, должны быть ортогональны. [c.49] Следовательно, для всех возможных линейных комбинаций (в том числе и с бесконечным числом членов) функции Ч Дл ) образуют своего рода базис, в котором и записываются эти линейные комбинации. По аналогии с обычными векторными пространствами (например, в трехмерном случае, когда любой вектор Ь записывается в виде (bi + e i + Ь)а), функции Р (х) называют базисными, либо говорят о них как о базисных векторах (по своей роли аналогичных векторам i, j и к, только в бесконечномерном пространстве). На этом языке формула (12) интерпретируется следующим образом все возможные (конечные или бесконечные) линейные комбинации базисных векторов Р (х) образуют линейное пространство 8,, в котором любой вектор /(л ) может быть представлен в виде (12). [c.51] Коль скоро функции ортогональны и нормированы (т.е. орто-нормированы), то где - символ Кронекера. [c.51] Вернуться к основной статье