ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Центральная предельная теорема из "Стохастические процессы в физике и химии" Центральная предельная теорема утверждает, что если даже Рх х) не гауссовы, а какие-либо другие распределения с нулевыми средними и конечными дисперсиями а , уравнение (1.7.1) остается справедливым в пределе г оо. На этом замечательном факте основана определяющая роль распределения Гаусса во всех областях статистики. [c.34] Вероятность того, что I лежит между z и z-hAz, составляет Я2(2)Дг== 2 р . [c.35] Когда / велико, это выражение определяет гладкую плотность вероятности Я2, которую и нужно определить. [c.35] Возникает вопрос как дискретное распределение вероятности можно аппроксимировать непрерывным Ответ дает соотношение (1.7.5)—это описание, огрубленное по масштабам. Более точно (1.7.7) представляет собой вероятность найти V в интервале у, у + Ау, когда Ау . В то же время очевидно, что оно некорректно описывает вероятность, когда Ai/ l. [c.35] Упражнение. Покажите, что результат (1.7.7) в действительности совпадает с полученным из центральной предельной теоремы. [c.36] Упражнение. Примените центральную предельную теорему к случайным блужданиям в 1.4, сравните с (1.4.8). Сравните результат с явным вычислением, как было проделано выше. [c.36] Упражнение. Покажите, что распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса при а — ос. [c.36] Различные наборы строгих математических условий, ори которых справедлива центральная предельная теорема, можно найти в учебниках. Однако тому, кто занимается физикой, важнее качественно понимать область ее применимости, с этой целью мы добавим несколько замечаний. [c.36] С другой стороны, необходимо минимальное условие гладкости характеристической функции G (к), а именно чтобы существовала вторая производная в начале коордннат. То, что такое условие нельзя игнорировать безнаказанно, было продемонстрировано с помощью распределения Лоренца. Если переменные X, независимы и имеют одно и то же распределение Лоренца, то их сумма Y тоже имеет распределение Лоренца. Следовательно, оно не стремится к распределению Гаусса. [c.36] В-третьих, легко видеть, что имеет важное значение условие независимости переменных X. Если в качестве всех г переменных взять одну и ту же величину X, результат будет не верен. С другой стороны, достаточно слабая зависимость переменных друг от друга является допустимой. Это видно из вывода распределения Максвелла по скоростям из микроканонического ансамбля для идеального газа (см. упражнение в 1.3). 1Микроканоническое распределение в фазовом пространстве является совместным распределением, которое не факторизуется, но в пределе г оо распределение скорости каждой молекулы гауссово. Эквивалентность различных ансамблей в статистической механике основана на этом факте. [c.37] Упражнение. Проверьте с помощью явных вычислений, что доказательство центряльной предельной теоремы для лоренцевых переменных не справедливо, а ее результат не верен. [c.37] Упражнение. В случайном блуждании шаги чередуются по длине каждый второй шаг покрывает две единицы (влево или вправо). Найдите предельное распределение. [c.37] 5 будет показано, что в пределе переменная К стремится стать гауссовой. [c.37] Вернуться к основной статье