ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Статистические методы анализа и планирования эксперимента в химической технологии из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" Назовем -той ошибкой измерения разность р, — а = 2,- между истинным значением измеряемой величины х и результатом измерения XI- Будем считать, что ошибки измерения являются случайными, т. е. связаны с незначительными изменениями свойств измеряемой среды и приборов в ходе измерения в них нет погрешностей, связанных с неточностями расчета или записи (грубых ошибок) и со смещением нулевой точки приборов (систематических ошибок). [c.11] Соотношение (1.1) впервые получено Муавром Гаусс детально изучил его и указал пути широкого применения. [c.12] Уравнение нормального закона распределения содержит лишь один параметр, характеризующий точность измерений а . Чем больше этот параметр, тем вероятнее большие ошибки (см. рис. 1-1). Величину называют дисперсией, а — стандартной (квадратичной) ошибкой. [c.12] Пз графика р (г) легко определить вероятность Р (а 2 Ь) Она определяется площадью, ограниченной кривой р (г) и линиями г = а ж г = Ь, что вытекает из уравнения для Р. [c.12] Значения Ф (I), рассчитанные по уравнению (1.4), приводятся в справочных таблицах. [c.13] Например, при I = 2 величина Ф ( ) = 0,4772, и Р ( г 2а) = = 0,0456, т. е. только в 4,56% измерений вероятна ошибка больше 2а. При = 3 величина Ф (1) — 0,4986, и Р ( 2 1 За) = 0,0027. Поскольку эти вероятности очень малы, в реальных измерениях принимают, что ошибки больше 2а или За (в зависимости от требуемой надежности) невозможны. Тогда их называют предельными ошибками. Таким образом, результаты измерений позволяют найти так называемый доверительный интервал 1а, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой- величины. [c.13] Далее интегрируем по частям. [c.14] Зная 5, можно оценить погрешность каждого единичного измерения. Для заданной вероятности р доверительный интервал истинного значения измеряемой величины лежит в пределах от XI—до XI + is, где 1 = t (р). [c.15] Разумеется, погрешность всех измерений выборки меньше, чем каждого единичного измерения. Для оценки погрешности средней величины сравним выборочную дисперсию для серии опытов и для единичного измерения. [c.15] Таким образом, для заданной вероятности р доверительный интервал истинной величины, определяемый для всей выборки, лежит в пределах от х-1з- до а + 1в-. [c.16] При небольшом числе независимых опытов п применение закона Гаусса дает слишком оптимистичные оценки. Это связано с тем, что при малых п значение х может сильно отличаться от ц. В тех случаях, когда нет уверенности в симметричном расположении результатов опытов относительно р,, пользуются оценкой доверительного интервала по Стьюденту. Эту оценку получают следующим образом. [c.16] Выразим ошибку определения среднего арифметического значения = ц—х в единицах 5-. Пусть = zJs , где t — отношение двух случайных величин и само является случайной величиной. Отличие от I [последнее определено соотношением (1.2)1 в том, что с характеризует ошибку средней величины, а — единичного измерения. [c.16] Вернуться к основной статье