ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Полные факторные планы и дробные реплики. Композиционные планы второго порядка из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" Поскольку методы регрессионного анализа позволяют строго определить доверительные интервалы для коэффициентов Ь, он удобен для расчета по результатам эксперимента неизвестных физико-химических параметров, если теоретические зависимости, содержащие такие параметры, удается представить в виде полиномов. Экспериментальные данные, используемые при этом, представляют собой совокупность наборов значений Хщ, х и, . ри и отвечающего каждому набору значения (где и — номер эксперимента). [c.22] Та же задача может быть решена методами матричной алгебры. [c.24] Поскольку выбор метода планирования зависит от экспериментатора, рассмотрим составление такого плана постановки эксперимента, который позволит получить минимальную дисперсию а1.. [c.26] Понятно, что доверительный интервал Ь,- равен (р), а V = = и — (р + 1). [c.27] При построении ПФП или ДР для каждой из переменных (факторов) устанавливают основной уровень х, интервал варьирования Ах1, верхний х1 = - -Axi, Хг= +1) и нижний х1 = х — Ах,- х,- = —1) уровни. [c.27] В ПФП исследуются все возможные сочетания переменных на двух уровнях. Матрица планирования для двух переменных приведена в табл. 1-1 (выделена пунктиром). Если имеется три переменных (х , х , х ), причем каждую варьируют на двух уровнях, то матрица планирования получается из предыдущей матрицы путем ее повторения сначала с х на нижнем уровне (—1), а затем на верхнем (+1), как показано в табл. 1-1. [c.27] Матрицу планирования для четырех переменных можно получить, повторив два раза матрицу планирования для трех переменных — сначала с х = затем с Х4 = +1. [c.27] Очевидно, что число экспериментов при варьировании р переменных на двух уровнях есть 2р. [c.27] Для определения этих семи коэффициентов требуется провести семь экспериментов восьмой эксперимент используется для проверки адекватности полученного уравнения опытным данным. [c.27] При значительном числе переменных варьирование их даже на двух уровнях гролюздко так, при четырех переменных необходимо поставить 16 опытов, при пяти — 32 опыта и т. д. Однако если интервал варьирования выбран не слишком большим и можно ограничиться линейным приближением, то число опытов факторного эксперимента излишне велико. Для определения р + 1) неизвестной при р 2 ставить 2р опытов неэффективно. Так, при трех переменных (р = 3) в линейное уравнение регрессии входит 4 неизвестных коэффициента, и ставится не 4, а 8 опытов при р = Ъ для определения 6 неизвестных ставится 32 опыта, и т. д. Поэтому для определения коэффициентов линейного уравнения при числе переменных больше двух применяют не ПФП, а его части — дробные реплики. [c.28] Для составления иолуренлики в случае трех переменных используют факторный эксперимент (план) для двух переменных, но включают в него третью переменную так, чтобы = х х или Жз = —Х1Х2. Пример полуреплики для изучения влияния четырех переменных приведен в табл. 1-1. [c.28] Факторный эксперимент и дробные реплики- позволяют изучить экспериментально область вблизи произвольно выбранной исходной точки. Одновременно по полученным результатам можно определить способ изменения входных переменных х ,. .., Хр с целью оптимизации процесса по выходной переменной у, для которой получено адекватное уравнение регрессии. [c.29] Факторный эксперимент или дробная реплика ставятся таким образом, чтобы получить линейное уравнение регрессии. Следовательно, необходимо поставить р + 1 опытов для определения коэффициентов регрессии и небольшое число дополнительных опытов для проверки адекватности уравнения опытным данным. С учетом этих соображений и выбирается степень дробности. Если оказалось, что полученное уравнение неадекватно, следует уменьшить интервалы варьирования. Если же в адекватном уравнении коэффициенты регрессии но некоторым переменным близки к нулю, то для этих переменных интервал варьирования следует увеличить. В результате будет получено адекватное уравнение линейной регрессии, в котором значимы все входные переменные, т. е. все. .., Ьр существенно отличны от нуля. [c.29] В удаленной от оптимума области движение к нему осуществляется шаговым методом в направлении градиента у. [c.29] Изменение величины х , приводящее к наиболее резкому увеличению у, должно быть пропорционально градиенту у по x , т. е. dy/dXl) = 6 . [c.29] При приближении к оптимуму, когда значение у находится вблизи максимальной, минимальной или минимаксной точек, т. е. в почти стационарной области , требуется иной подход. Для этой области коэффициенты близки к нулю, и на величину у сильно влияют квадратичные члены (ЬцХ1). [c.30] Провести экспериментальное исследование почти стационарной области с целью описания ее полиномом второй степени можно на основе планирования на двух уровнях с проведением дополнительных опытов. Такое планирование называют композиционным. Если в число дополнительных опытов входят опыты с переменными, взятыми на основных уровнях (как бы в центре исследования), то такое планирование называют центральным композиционным. Наиболее часто используют два типа центрального композиционного планирования — ортогональное и ротата-бельное. [c.30] При ортогональном планировании к факторному эксперименту или дробной реплике добавляют 2р + 1 опытов (р — число переменных), причем один из них — центральный х = = = = Хр = 0), а 2р — звездные . В звездных опытах каждая из нормированных переменных поочередно принимает значения 0, а для остальных переменных задан основной уровень (ху = О, у ф г). Значения при различном числе переменных р приведены в табл. 1-2 [5-7]. [c.30] В табл. 1-3 приведена матрица ортогонального планирования для трех переменных. По аналогии с этой таблицей можно составить схему ортогонального планирования для четырех и пяти переменных. [c.30] Более надежным способом получения полинома второй степени является ротатабельное планирование, основанное на постоянстве дисперсий в опытах, равно удаленных от центрального [2, 5]. При ротатабельпом планировании увеличивается число опытов в центре (х = Х2 = = Хр = 0), и значение р отличается от йо для ортогонального планирования (табл. 1-4). [c.32] Вернуться к основной статье