ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Поиск экстремума при наличии ошибок. Стохастическая аппроксимация из "Моделирование физико-химических процессов нефтепереработки и нефтехимии" Метод сканирования длителен, но осуществим для функции одной переменной- Если ж(з его применять для функции многих переменных, то число расчетов оказывается столь большим, а их осмысливание настолько затруднительным, что практическое использование этого метода становится, как правило, бессмысленным- Так, если у t (ж , и можно проверить каждый из х в р точках, то у придется определять раз для к переменных необходимо у опреде.лить р раз. [c.184] Из рисунка видно, что однократный перебор всех переменных лишь в редком случае приведет к отысканию экстремума вообще же необходим многократный перебор , но и он может оказаться неэффективным, если функция имеет гребень ( овраг )-Покоординатный поиск приведет к локальному экстремуму если же его выполнить из нескольких исходных точек, то возможно определение нелокального экстремума. [c.185] Рассмотрим поисковые методы, наиболее часто используемые при решении задач химической технологии. [c.185] Исследование функции y — f(xi,.. х ,) вблизи исходной точки. [c.186] Обратим также внимание на то, что величина Ь/ равна частной производной у по Ху вблизи исходной точки, т. 0. [c.187] Эта точка может характеризовать максимум, минимум или минимакс (максимум по х и кинимум по х , или наоборот). Проверка у f (х , Х2) вблизи точки, х1 позволит установить справедливость нелинейной аппроксимации и характер этой точки. [c.188] Движение к экстремуму по результатам предварительного исследоваиия. Наиболее эффективным движением из исходной точки, удаленной от экстремума, в экстремальную область является движение в направлении наибольшего изменения у, т. е. в направлении градиента у. Движение по градиенту — это движение в направлении, перпендикулярном к касательной линии равного уровня у, или в более общем случае — в направлении, перендикулярном к касательной плоскости. Если, например, у — высота горы, то движение по градиенту у — это движение по поверхности горы к вершине по перпендикуляру к линии равной высоты. [c.189] Из уравнения ( 1.22) видно, что изменение у положительно при X 0 (движение к максимуму) и отрицательно при 3 О (движение к минимуму). [c.189] В этой последовательности выбирается набор аргументов, при котором у оказывается оптимальным. В найденной оптимальной точке, например, точке р, можно определить новое направление градиента и продолжить движение в этом направлении. [c.189] Традиционный метод градиента основан на линейной аппроксимации поведения функции вблизи исходной точки. Существует большое число модификаций градиентного метода, в которых применяется нелинейная аппроксимация поведения функции вблизи исходной точки. В методах нелинейной аппроксимации поиск состоит из двух чередующихся этапов 1 — нелинейная аппроксимация вблизи исходной точки, аналитическое определение улучшенного решения по нелинейному параболическому уравнению 2 — перемещение для поиска в найденную улучшенную точку [4]. Такой метод использован, в частности, при определении 10 коэффициентов математического описания платформинга [51. [c.190] Поиск минимума функции Р начинают из задаваемой начальной точки А- В этой точке определяется и запоминается значение целевой функции Р А) = УО- Из точки А делают пробные шаги 2) по каждой из переменных- В полученных точках вычисляют значения функции Р, из них выбирают наименьшие 81 и сравнивают с МО- Если 81 УО, то в направлении наибольшего убывания функции делается двойной шаг. Получают новое значение функции 82- По полученнььм трем точкам (УО, 81-, 82) строится экстраполирующая парабола, по которой определяют точку минимума функции. [c.190] Для функции с минимумом в аналогичной ситуации, т. е. у = (х , Хз) говорят об овраге . [c.192] После существенного перемещения можно всю процедуру повторить. [c.192] В методе вращающихся координат (Розенброка) осуществляется поворот системы координат так, чтобы одна из осей совпала с направлением гребня . Для иллюстрации метода воспользуемся векторными представлениями. [c.193] Возможны различные модификации градиентного метода, направленные на ускорение движения в окрестностях экстремальной точки. Одна из модификаций заключается в следующем. Перемещаясь в направлении градиента из исходной точки 2, находят наилучшую точку 2 (рис. У1-9), но дальнейшее движение проводим не из этой точки, а из точки 2, которая делит отрезок 1—2 в отношении, например, 9 1 или 8 2 и т. п. При этом удается избежать зигзагообразных движений по гребню . [c.194] Отметим, что при движении по гребню лучше пользоваться нелинейной аппроксимацией. [c.194] Такой поиск не вызывает затруднений, если ограничения заданы на величины. .., Х . В этом случае после выхода х, при градиентном поиске на ограничение его величина фиксируется, и в дальнейшем поиске изменяются только другие переменные х,- (г ф ]). [c.194] Рекомендуется вначале, выбрав для ос некоторое значение ое , определить. .., в околоонтимальной области. Затем увеличивают в 2 раза и проводят новый поиск. Если координаты экстремумов отличаются друг от друга не более чем на заранее заданную малую ве.чичину, можно считать поиск законченным. В противном случае необходимо дальнейшее увеличение а. [c.194] Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194] Вернуться к основной статье