ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Условная минимизация. Ограничения типа равенств из "Математическое программирование в задачах химической технологии" Перейдем теперь к непосредственной постановке задачи условной минимизации и изложению самого метода неопределенных множителей. Лагранжа. [c.27] Подставляя полученные соотношения в оптимизируемую функцию /.. мы получим функцию, которая заииснт только от п — гп независимых переменных. Тем самым мы избавляе.мся от ограничений и уменьшаем раз.мерность пространства, в котором решается задача. Полученная задача безусловной опти-.мизации. может решаться описанными ранее. методами классического анализа. [c.28] На практике достаточно часто не удается аналитически выразить одни переменные через другие, пользуясь соотношениями (30), и приходится применять метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.28] в результате таких операций мы получили, что системам уравнений (34), (36) должны удовлетворять как величины Хк (А = 1. т), так и значения независимых переменных х, (г = 1.п), при которых функция / имеет ус,повный экстремум. Заметим, что переменные должны также удовлетворять системе исходных ограничений (30). Таким образом, мы получили п + т уравнений для определения п + т неизвестных величин, а именно, п значений Х , в которых достигается условный экстремум функции / и т соответствующих этому экстремуму значений множителей Лагранжа Х . [c.29] мы получили, что для решения исходной задачи условной оптимизации надо реишть систему уравнений (38) совместно с систе.мой исходных ограничивающих условий (30). [c.29] Следует отметить, метод неопределенных множителей. Лагранжа позволяет выписать только необходимые условия экстремума для непрерывно дифференцируемых функций. Найденные при таком подходе значения х могут и не доставлять экстремального значения оптимизируемой функции, поэто.му для получения окончательного ответа необходимо проводить дополнительное исследование точек Х тем или иным методом, как это делалось ранее при рассмотрении методов классического анализа. [c.30] Пример. Здесь в качестве примера применения метода неопределенных множителей Лагранжа мы рассмотрим задачу расчета размеров цилиндрической емкости заданного объема V, которая и.мела бы минимальную поверхность 5. [c.30] Иногда бывает удобно ввести еще один множитель. Лагранжа, который соответствует исследуемой на экстремум функции. Его обычно обозначают Ло. Так как из системы для определения (х. А ] неопределенные множители Лагранжа могут быть онреде. ены с точностью ди постоянного множителя, то множители Л, можно подчинить какому-либо условию нормировки, например. [c.32] Если Ао 7 О (задача при этом называется невырожденной), то условие (48) можно заменить на более простое Ад = 1. [c.32] Таким образом, из рассмотрения последнего примера видно, что -исключить случай Aq — О нельзя. [c.33] Замечание. Введением дополнительных ограничений экстремальные задачи, в которых на пере.менные наложены ограничения типа неравенств, можно свести к задачам, на переменные которых наложены ограничения типа равенств. Следовательно, для таких задач также можно использовать метод неопределенных множителей. Лагранжа, хотя предлагае.мый здесь прие.м значительно усложняет вычисления. [c.33] Вернуться к основной статье