ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Статистическое оценивание числовых характеристик случайных процессов из "Математическое моделирование основных процессов химических производств" Идентификация математического описания объекта является основным этапом в построении адекватной математической модели процесса и поэтому представляет собой одну из центральных эадач математического моделирования химико-технологических процессов. Как уже отмечалось, большинство таких процессов представляет собой многофазную многокомпонентную среду, распределенную в пространстве и во времени. Существенной особенностью этих процессов является их детерминированно-стохастическая природа, определяемая наложением стохастических особенностей гидродинамической обстановки в аппарате на процессы массо-и теплопереноса. Как следствие этого, параметры математических моделей отражают стохастические особенности протекания процесса и определяются статистическими методами. [c.23] В настоящее время наиболее разработана теория оценивания линейных по параметрам математических моделей. Однако большинство моделей химико-технологических процессов нелинейны по параметрам, что создает значительные трудности при решении задач их идентификации. Поэтому часто идентификацию нелинейных моделей проводят либо с помощью приближенных оценок, либо путем линеаризаций исходной модели химикотехнологического процесса. В настоящей главе будут рассмотрены методы идентификации как линейных, так и нелинейных математических моделей. [c.23] Так как наряду с оценкой неизвестных параметров задача идентификации подразумевает сравнение рассчитьшаемьк по модели переменных состояния химико-технологического процесса с наблюдаемыми (экспериментальными) значениями, то в данной главе рассматриваются и методы установления соответствия (адекватности) модели реальному объекту. [c.23] Рассмотрим следующую общую постановку задачи. Пусть в некотором случайном эксперименте наблюдается случайная величина X, функция распределения которой зависит от параметра в. Значение параметра неизвестно и нуждается в определении. Для этого получают случайную выборку некоторого объема наблюдений над величиной (х,, Хг.х ), являющуюся источником информации относительно неизвестного параметра 6. [c.24] Отсюда следует, что статистика представляет собой случайную величину с законом распределения, определяемым функцией правдоподобия, а следовательно, и законом распределения случайной величины. [c.24] Законы распределения выборочных характеристик. Прежде чем перейти к рассмотрению законов распределения выборочных характеристик, введем важное вспомогательное понятие. [c.24] Рассмотрим теперь точные распределения выборочных характеристик, т.е. законы распределения статистики Q, справедливые при любом п. Предположим, что имеется выборка объемом п из одномерной генеральной совокупности с функцией распределения Р(х), и требуется определить закон pa пpeдe Jeния статистики 2(хь Хг. с ). Эта задача сводится к отысканию закона распределения функции 2(- ь 2, —. х ) от и независимых случайных величин Ху, Хг,. ... Х с одной и той же функцией распределения Р(х). [c.24] Теоретически доказано, что если заданы функции Р к Q, o всегда существует единственное решение. [c.25] Однако при современном состоянии математической статистики приемлемое точное решение удается получить лишь в сравнительно редких случаях. Лишь в частном случае, когда выборка берется из нормальной генеральной совокупности, получены достаточно полные результаты. Именно этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. [c.25] Отметим, что математическое ожидание случайной величины равно числу степеней свободы к, а дисперсия — удвоенному числу степеней свободы, т.е. [c.25] Рассмотрим статистики, имеющие х -распределение. С данным законом распределения тесно связано распределение выборочной дисперсии =5 (Х1,Х2.Х ). [c.25] На практике среднеквадратическое отклонение а случайной величины, как правило, неизвестно. В связи с этим возникает задача определения закона распределения среднего х, не зависящего от а, которую удалось решить английскому статистику Стьюденту. Распределение Стьюдента находит очень широкое применение в теории статистического оценивания параметров и в статистической проверке гипотез. Дадим его определение. [c.26] Это асимметричное распределение график его плотности вероятностей изображен на рис. 2.1. [c.27] Существуют таблицы -распределения, построенные так, что для различных значений вероятностей а и сочетаний величин кх и кг даются значения f , для которых справедливо равенство P(F Д) = а. [c.27] Теория статистического оценивания рассматривает два основных вида оценок точечные и интервальные. [c.28] Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения (хь Х2,х ),значение которой в данных условиях принимается за наибольшее приближение к значению параметра в генеральной совокупности. [c.28] Однако при выборке небольшого объема точечная оценка может существенно отличаться от истинного значения параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в случае малой выборки часто используют интервальные оценки. [c.28] Интервальной оценкой назьшают числовой интервал (0, (9j),определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице, вероятностью, что он содержит значение оцениваемого параметра генеральной совокупности. [c.28] Основная проблема теории точечных оценок заключ—тся в выборе возможно лучшей оценки, отвечающей требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности. [c.29] Дисперсия выборочной оценки связана с еще одним ее важным свойством - эффективностью. Требование эффективности оценки основано на логическом правиле, заключающемся в том, что если имеется несколько несмещенных оценок параметра, то следует отдать предпочтение оценке с наименьшей дисперсией 0(0 5). так как в этом случае риск получения существенной ошибки оценивания будет наименьшим. [c.29] Вернуться к основной статье