ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Интегралы движения и условия симметрии из "Квантовая механика" Как было показано в 16, интегралом движения, т. е. величиной, среднее значение которой не меняется с течением времени в любом состоянии, является физическая величина, оператор которой явно не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона данной системы. Напомним, что в классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую функцию координат и импульсов, которая остается постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов движения позволяет сформулировать соответствующие законы сохранения, имеющие большое значение для понимания физических свойств изучаемых явлений. [c.77] Покажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения тесно связано со свойствами симметрии квантовомеханических систем, т. е. с инвариантностью оператора Гамильтона относительно тех или иных преобразований координат. [c.77] Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров, исследуем, как преобразуются волновые функции квантовой механики при преобразованиях координат. Преобразования координат могут быть двух типов а) преобразование координат, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы при этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, остаются неподвижными б) преобразование координат фиксированного в пространстве расположения точек при изменении базисных векторов координатных осей. В этом параграфе мы рассматриваем преобразования координат типа а). [c.77] Пусть S — некоторая операция, с помощью которой преобразуются координаты вектора г, определяющего положение точки, т. е. [c.77] Рассмотрим, как преобразуются волновые функции при преобразовании координат (18,1). В результате преобразования координат в точку г переносится то значение функции, которое быЛо в точке г, т. е. [c.77] Инвариантность оператора Я относительно некоторого преобразования, определяемого оператором Л означает, что действие оператора Р на функцию Я ф эквивалентно действию Я на функцию / ф, т. е. [c.78] Вместо оператора смещения во времени удобно пользоваться генератором преобразования, или инфинитезимальным оператором смещения времени I t), который определяется как производная оператора по параметру при нулевом значении этого параметра. [c.79] из однородности пространства следует соотношение (18,6), которое в силу (17,4) сводится к утверждению, что импульс свободной частицы является интегралом движения. [c.80] В этом случае инвариантность относительно пространственных смещений сводится к закону сохранения полного импульса системы. [c.81] Пользуясь связью (18,12), можно определить и оператор внутреннего углового момента (оператор спина), не имеющий аналога в классической физике, т. е. оператор, который не сводится к функции, зависящей от операторов координаты и импульса (см. 62). [c.83] Рассмотренные выше преобразования трансляций и поворотов относятся к классу непрерывных преобразований, так как они могут осуществляться путем многократного повторения бесконечно малых преобразований. Инвариантность оператора Гамильтона по отношению к этим преобразованиям приводит к законам сохранения импульса и углового момента, которые соответствуют законам сохранения классической механики. Наряду с непрерывными преобразованиями условия симметрии могут приводить к дискретным преобразованиям, не сводящимся к бесконечно малым. В классической механике инвариантность по отношению к таким преобразованиям не приводит к законам сохранения. В квантовой механике отсутствует принципиальное различие между непрерывными и дискретными преобразованиями, поэтому в квантовой механике законы сохранения следуют и из инвариантности по отношению к дискретным преобразованиям. [c.83] При преобразовании инверсии правая система координат переходит в левую систему координат. [c.83] Обозначим оператор пространственной инверсии буквой Р, тогда симметрия между правым и левым будет математически выражаться коммутацией оператора Р с оператором Гамильтона, т. е. [c.84] По определению оператора инверсии его действие на функцию сводится к преобразованию (18,13), т. е. [c.84] Вследствие коммутации оператора инверсии с оператором Гамильтона четность состояния является интегралом движения. Таким образом, инвариантность оператора Гамильтона по отношению к преобразованию инверсии приводит к установлению закона сохранения четности. [c.84] Вернуться к основной статье