ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Примеиение вариационного метода к приближенным расчетам из "Квантовая механика" В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных значений оператора Гамильтона не использует теории возмущений и не требует знания всех решений более простых уравнений. [c.222] Доказательство неравенства (51,1) легко провести путем перехода К энергетическому представлению. Если мы обозначим полный набор собственных функций оператора Й через (fn, то любую функцию г з можно разложить по системе функций фп. т. е. [c.222] Практическое вычисление энергии основного состояния с помощью выражения (51,4) сводится к выбору пробной функции . [c.222] Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаюгся уже при использовании одного параметра. [c.223] Доказательство этого утверждения можно провести таким же образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем, чтЪ, в силу условия ортогональности (51,6), разложение функции 11)1 по собственным функциям оператора Й не содержит функции фо, т. е. [c.223] Вычисление третьего возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи при четырех дополнительных условиях. Следовательно, при вычислении высоких возбужденных состояний вариационная задача значительно усложняется. В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходяшем выборе пробных функций просто в силу ройств симметрии. Например, при исследовании состояний движения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам, обеспечивается ортогональностью соответсгвующих сферических функций. [c.224] В данном случае значения энергии и волновой функции, полученные вариационным методом, совпадают с точными выражениями, найденными в 26. [c.224] Из условия нормировки имеем A = рз/я. [c.225] Вернуться к основной статье