ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Линейные операторы в векторном пространстве. Матрицы из "Квантовая механика" Линейные операторы в векторном пространстве. [c.675] Для облегчения чтения книги напомним некоторые определения, связанные с векторными пространствами конечного и бесконечного числа измерений. Понятие векторного пространства является обобщением понятия обычного трехмерного пространства. [c.675] Векторное пространство Я является линейным пространством, т. е. оно обладает тем свойством, что любая линейная комбинация двух векторов (например, аАЬВ, где а и Ь — комплексные числа) образует вектор, принадлежащий тому ж6 векторному пространству. Каждой паре векторов Л и В в векторном пространстве сопоставляется число (Л Б), называемое скалярным произведением векторов. Определение скалярного произведения дано в разделе IV этого параграфа. [c.675] Иногда линейное множество функций со скалярным произведением, удовлетворяющим указанным свойствам, называют функциональным гильбертовым пространством. Векторы состояний квантовых систем образуют функциональное гильбертово пространство. [c.676] Полную совокупность независимых векторов в,- называют базисной системой векторов, или базисом векторного пространства. Комплексные числа в разложении типа (В, 1) называют координатами вектора, А. [c.676] В функцирнальном гильбертовом, пространстве базисной системой векторов является полная совокупность собственных функций любого линейного самосопряженного оператора, определенного на множестве функций, входящих в гильбертово пространство. [c.676] Координаты вектора однозначно определяются заданием вектора и системы базисных векторов е,. Выбор базисных векторов может производиться многими способами. Одному вектору в разных системах базисных векторов соответствуют разные системы координат. Следовательно, значения координат существенно зависят от выбора базисй. Однако некоторые величины, образованные из координат, не зависят от выбора базиса и определяют свойства самих векторов, например их длину, взаимное расположение и др. [c.676] Для бесконечномерного пространства число строк и столбцов в таблице также бесконечно. Таблица чисел а,VI называется п-мерной (или бесконечномерной) квадратной матрицей. Числа называют матричными элементами. Первый индекс ( обозначает номер строк, второй индекс обозначает номер столбцов. [c.677] Матричные элементы единичной матрицы называют символами Кронекера, они равны единице при 1 = к и равны нулю при / ф к. Единичная матрица коммутирует со всеми другими матрицами. [c.678] При умножении матрицы на комплексное число надо умножить все элементы матрицы на это число. Суммой двух матриц а-I-р называется матрица у, матричные элементы которой равны сумме матричных элементов аир. [c.678] Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется шпуром, или следом матрицы, т. е. [c.678] Диагональные матрицы. Матрица называется диагональной, если она имеет отличные от нуля матричные элементы только на главной диагонали, т. е. [c.680] Транспонированные матрицы. Матрица а является транспонированной к матрице и, если она образована из матрицы путем замены строк столбцами, т. е. [c.680] Комплексно сопряженная матрица. Матрица а является комплексно сопряженной к матрице а, если ее матричные элементы комплексно сопряжены элементам матрицы , т. е. [c.680] Эрмитово сопряженные матрицы. Матрица о , полученная из матрицы а путем последовательного применения операции транспонирования и комплексного сопряжения, называется эрмитово сопряженной матрицей к матрице a— aih), т. е. [c.680] Матрица а называется действительной, если а = а. Матрица а называется мнимой, если а = —а. Матрица а называется симметричной, если а — а. Матрица а называется антисимметричной, если а = —а. Матрица а называется эрмитовой, или самосопряженной, если а = а. Матрица а называется анти-эрмитовой, если а = —а. Матрица а называется унитарной, если а = а . [c.681] Скалярное произведение векторов остается инвариантным при переходе от одного баз иса к другому, т. е. [c.681] Выполнение равенства (В, 13) для произвольных двух векторов может служить определением унитарности матрицы и. [c.682] Произведение двух унитарных матриц тоже унитарно. Так,. [c.682] Легко убедиться, что рассмотренные ранее матрицы преобразований 5(В,7) координат векторов при переходе от одной базисной системы координат к другой являются унитарными матрицами. Они удовлетворяют условию 8 =8 . Поскольку матрица 8 действительна, то из условия унитарности следует, что 8 ортогональна. [c.682] Вернуться к основной статье