ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Преобразование Лежандра. Гомогенные функции и теорема Эйлера из "Химическая термодинамика" Для построения формального аппарата термодинамики необходимы еще некоторые математические методы, которые будут рассмотрены в данном параграфе. [c.85] Р) является однозначно обратимым. [c.85] Условие р. требует, чтобы из трансформированной функции можно было однозначно восстановить первоначальную функцию (19.1). Другими словами, требуется, чтобы при преобразовании сохранялось математическое содержание (19.1) (или соответствующая физическая информация). [c.85] Но если захотим вновь получить из (19.5) начальную функцию (19.3), то видно, что эта задача решается неоднозначно и, таким образом, нарушается условие Р). [c.86] Эти условия достаточны для большинства применений, [-[екоторые специальные случаи, в которых они не выполняются, требуют особого обсуждения. [c.88] Преобразования у х) (р), определенные с помощью приведенных уравнений, называются преобразованиями Лежандра. V (р) — результат преобразования Лежандра функции у х). Преобразования Лежандра являются частным случаем преобразований прикосновения. Они встречаются в классической механике при переходе от формулировок Лагранжа к формулировкам Гамильтона. Важными для нас являются следующие свойства. [c.88] Преобразования Лежандра однозначно и обратимо превращают не каждую точку плоскости х,у в точку плоскости 1 ), р, а каждую точку кривой у х) в точку кривой (р). [c.88] Это соотношение должно выполняться для каждого значения а. Если подставить а = 1, то получим уравнение (19.19). В термодинамике имеют значения только гомогенные функции первой степени, где 1—1. [c.90] Это уравнение также называется фундаментальным уравнением Гиббса. Уравнение (20.1) называется энтропийным выражением, уравнение (20.5) — энергетическим выражением. В современной термодинамике в основном используют энергетическое выражение, в то время как энтропийное выражение имеет значение прежде всего для термодинамики необратимых процессов и статистической механики. В дальнейшем будем учитывать энтропийное выражение только при некоторых общих рассуждениях. [c.91] Эти переменные состояния, к которым (что совершенно ясно) прежде всего относятся объем и число молей, называются экстенсивными параметрами. [c.91] К пункту а. Это следствие вытекает из уравнений (20.1) и (20.5) в связи с законами термодинамики и определением экстенсивных параметров. [c.93] К пункту б. Если предположить, что в уравнении (20.6) части системы и равны, то следствие вытекает из а. и уравнения (19.18). [c.93] Величину, стоящую справа, можно также написать в виде Т дР дО)у. Она означает повышение давления при подводе единицы количества теплоты при постоянном объеме. [c.94] Соотношения такого типа называют соотношениями Максвелла. Они будут подробно рассмотрены в 24. [c.94] Из этих трех уравнений можно исключить переменные Х /Хз и Х /Хз, что дает уравнение между тремя интенсивными параметрами Р,-. Если даны два уравнения состояния, то из них можно рассчитать третий интенсивный параметр. [c.97] Уравнения (20.39) и (20.42) называются фундаментальными уравнениями, рассчитанными на один моль. Если даны уравнения состояния для Т и Р, то подстановкой в (20.42) и интегрированием получают в явном виде фундаментальное уравнение, рассчитанное на один моль. Соответствующие рассуждения справедливы также для энтропийного выражения. [c.98] Это чрезвычайно важное соотношение называется уравнением Гиббса — Дюгема. [c.99] Вместо метода, описанного под рубрикой К пункту д. , уравнение Гиббса — Дюгема может также служить для получения фундаментального уравнения из двух уравнений состояния. На примере идеального газа можно легко проверить применимость различных методов. [c.99] Фундаментальное уравнение должно быть преобразовано таким образом, чтобы один или несколько интенсивных параметров были введены в качестве независимых переменных и при этом сохранялась полная информация фундаментального уравнения. [c.100] Вернуться к основной статье