ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Методы, основанные на отыскании корней квадратичного полинома из "Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета кинетических констант" Алгоритм метода. Метод максимального приближения, сформулированный впервыеМаркардтом [186], основан на комбинации достоинств метода Гаусса — Ньютона и метода градиента, соединяя в себе как быструю сходимость процесса решения по методу Гаусса— Ньютона вблизи точки искомого экстремума, так и быструю сходимость процесса решения по методу градиента для первых итераций при движении от исходной точки, соответствующей начальным приближениям искомых констант. [c.168] Вывод уравнения (III.91) и его теоретическое обоснование, а также доказательство необходимых условий сходимости метода максимального приближения даны в работе [186]. [c.168] Анализируя уравнение (II 1.91), нетрудно видеть, что при =0 оно переходит в уравнение (III.83), давая значение шага Л в соответствии с процедурой метода Гаусса — Ньютона. Когда уравнение (III.91) дает значения шага, близкие к значениям, получаемым по методу градиента. Для любого промежуточного значения Я, между О и оэ величина шага будет определяться комбинацией шагов, получаемых обоими методами. [c.169] Очевидно, что всегда можно выбрать достаточно большие значения А, и получить соответствующие им значения при которых условие (III.87) будет выполняться, если величина еще не достигла минимума. Однако выбор больших значений основанный лишь на оценке неравенства (III.87), является нежелательным, так как в этом случае получаемая величина шага в значительной мере будет зависеть от метода градиента с характерной для него медленной сходимостью процесса поиска вблизи минимума, попаданием в овраги и т. п. Поэтому всякий раз, когда условие (111.87) выполняется и процесс поиска сходится быстро, надо пытаться использовать малые значения Я, . [c.169] В общих чертах процедуру выбора значений Я можно сформулировать следующим образом. [c.169] Масштабирование рекуррентного уравнения. Значения шага найденные методом Гаусса — Ньютона [решение уравнения (111.83)] не зависят от масштаба пространства 7 (иI, и , щ) искомых констант, т. е. являются инвариантными относительно линейных преобразований этого пространства. И наоборот, значения А , найденные методом градиента, в значительной мере не инвариантны к масштабу пространства констант. Поскольку метод максимального приближения является комбинированным, объединяя в себе как свойства метода Гаусса — Ньютона, так и свойства градиентных методов, то желательно пространство II (и , и ,. . ., щ) промас-штабировать. [c.170] Переходя к матричной форме, получим уравнение (111.96), что и требовалось доказать. [c.171] В отличие от ранее рассмотренных градиентных методов и методов линейных и нелинейных квадратов, использующих лишь локальную линеаризацию функции 5 в виде линейных членов ряда Тейлора, эти методы используют представление функции б в форме квадратичного полинома. В результате увеличивается объем информации о поверхности минимизируемой функции, что особенно важно при подходе к точке минимума, где решающую роль начинает играть рост членов второго порядка. [c.171] Существует несколько различных методов для решения уравнений (III.107). Два из этих методов и условия, при которых они сходятся, рассмотрены ниже. [c.173] Вернуться к основной статье