ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Характеристика ограничений в задачах оптимиаации процесМетоды последовательной безусловной минимизации из "Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов" Соотношения (111,5) могут рассматриваться как система т(т — = Np) нелинейных уравнений с п неизвестными Xi,. . [c.131] При построении моделей обычно пренебрегают несущественными сторонами процесса. Поэтому, как правило, полная адекватность модели и процесса отсутствует. [c.131] величины / - содержат как ошибки измерений (будем считать их случайными), так и систематические ошибки, вызванные неадекватностью модели. [c.131] К сожалению, при обработке экспериментальных данных часто отсутствует информация о законах распределения ошибок. Тогда выбор критерия F суш ественно усложняется. Большей частью на практике применяют критерий (111,8). Критерий (111,10) впервые был использован в работах П. Л. Чебышева. [c.132] Таким образом, в обш,ем случае критерий (111,10) сводит общую задачу обработки экспериментальных данных к задаче на условный экстремум. [c.132] В работах [87, 88] для решения задачи (111,11) используется аппарат линейного программирования в случае, когда функции / (а ) либо линейны, либо дробно-лннейны по переменным х. Эта ситуация соответствует Линейному или дробно-линейному вхождению констант X в зависимость (111,1). В общем же случае для решения задачи (111,11) необходимо применять алгоритмы, изложенные в гл. II. [c.132] Решение задачи. (111,7) с критериями (111,8), (111,9) сводит общую задачу обработки экспериментальных данных к задаче на безусловный экстремум. При использовании формулы (111,9) минимизируемый критерий имеет разрывные первые производные на поверхностях (111,6). Отсюда для решения задачи (III,7) целесообразно применять методы нулевого порядка, не требующие вычисления первых производных. В случае решения задачи (111,7) с критерием (111,8), вообще говоря, могут быть использованы как методы нулевого порядка, так и методы первого порядка (гл. II). [c.132] Вместе с тем опыт показывает (см., например, работу [89]), что для минимизации функции F (111,8) часто наиболее эффективными оказываются алгоритмы, непосредственно использующие тот факт, что минимизируемая функция является суммой квадратов правых частей системы (111,6). В связи с этим ниже приведены различные алгоритмы решения системы (1П,6) при условии, что в качестве критерия F выбирается критерий (III,8). [c.133] Здесь рассмотрены три группы методов решения системы (111,6). К первой группе относятся методы первого порядка минимизации функции F, ко второй — методы минимизации функции F нулевого порядка и к третьей — методы непосредственного решения системы (111,6). [c.133] Покажем, что уравнение (111,15) всегда имеет решение, даже если BlBi вырождена. [c.134] Последнее соотношение приводит к следующему алгоритму. [c.134] Отметим, что уравнение (111,18) можно получить, применив метод Ньютона для решения системы fi (х) = О, г = 1,. . ., п. [c.135] Аналогично методу Ньютона (Б.4) алгоритм VII обладает рядом недостатков. Так, последовательность х может быть расходящейся. Для устранения этого недостатка довольно часто определяют + 1 как точку, доставляющую минимум функции F xk + apk) по а. [c.135] На основе изложенного выше запишем следующий алгоритм. [c.135] Однако вычисление с высокой точностью минимума F [х) по направлению р требует многократного расчета функции F (а ). Поэтому целесообразно воспользоваться процедурой экономного одномерного поиска (см. с. 105), менее трудоемкой по сравнению с (111,20). Поскольку направление равно произведению отрицательно определенной симметрической матрицы — BlBh) на градиент функции F [х), полученный в результате метод будет сходиться при некоторых дополнительных предложениях (30, с. 61-62]. [c.135] Перейдем к обсуждению метода Гаусса — Ньютона и его модификации. Для кратности слово модификация опустим, хотя все сказанное будет относиться и к модифицированному методу Гаусса — Ньютона. [c.135] Последнее неравенство справедливо в силу неотрицательной определенности матрицы СС (с. 263). [c.136] Р — направлению вспомогательного вектора, определяемому алгоритмом, если в процессе поиска обнаруживается овраг. [c.136] Признаком наличия оврага является следующая ситуация. Рассматривается угол 0 между векторами и g[. Если угол не тупой, т. е. os 0 = ( i, gi) О, то полагается, что либо функция не имеет овражкого характера, либо обе точки и находятся по одну сторону оврага. Если же os 0 О, считается, что функция имеет овражный характер, точки Xi i и л,- расположены по разные стороны оврага и в этом случае поиск ведется по направлению р,-, направленному по биссектрисе угла 0 между векторами gi.iM gi. [c.137] Вернуться к основной статье