ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимальные плоские проекции многомерных фигур, изображающих системы высших классов из "Изображение химических систем с любым числом компонентов" Строение систем четвертого класса более сложно, чем рассмотренных выше систем первого, второго и третьего классов, в связи с увеличением общего числа реакций взаимного обмена. Для вывода соответствующих формул, определяющих число и характер низших составляющих систем, воспользуемся тем же ходом рас-суждений, что и в предыдущих случаях. Так, легко видеть, что число одно- и двухкомпонентных систем образуется в результате соединения каждого катиона с каждым анионом или соответственно каждой пары катионов с каждым анионом и каждой пары анионов с каждым катионом. [c.35] Я—любое целое число, превышающее шесть. [c.36] Простые тройные, четверные и так далее системы возникают в результате сочетания каждых трех катионов с каждым анионом и каждых трех анионов с каждым катионом или соответственно каждых четырех катионов с любым из анионов и всех четырех анионов с любым из катионов и т. д. [c.37] Кроме простых, начиная с трехкомпонентных систем, возможны и взаимные тройные — при сочетании каждой пары катионов с каждой парой анионов, четверные — из трех катионов и двух анионов или из трех анионов и двух катионов. [c.37] В системах с числом компонентов, равным или превышающим пять, уже возникают взаимные системы двух классов второго и третьего. У семи- и более высококомпонентных систем, кроме того, возникают низшие взаимные системы четвертого класса. [c.37] Общая закономерность строения многокомпонентных систем четвертого класса легко выявляется при сопоставлении формул, определяющих строение систем 4//4, 5//4 и 6//4 (табл. 6). Учитывая, что С4 = 4, = 6, С = 4 и С4 = 1, можно заметить связь между формулами табл. 6 и треугольником Паскаля. Принципиальное отличие, однако, заключается в том, что строение взаимных систем четвертого класса выражается суммой, слагаемыми которой служат числа треугольника Паскаля, соответственно умноженные на 4, 6, 4 или 1. Для изображения систем четвертого класса, очевидно, нужны геометрические фигуры иного типа, чем для изображения систем предыдущих трех классов. [c.37] Самый простой вид взаимных систем четвертого класса — системы 4//4 — уже содержат семь компонентов и, следовательно, могут быть изображены фигурами шестого измерения. Таким образом, они не имеют аналогов среди четырехмерных геометрических фигур. Вместе с тем, исследование многомерных фигур, изображающих системы первого, второго и третьего классов, указывает на характер и природу фигуры, при помощи которой можно изображать системы 4//4. Это должен быть своеобразный шестимерный тетраэдр, каждой вершиной которого, в свою очередь, служит тетраэдр. Общее тетраэдрическое расположение комплексных вершин характерно для всех фигур, изображающих системы четвертого класса, так же, как их общее треугольное расположение характерно для фигур, изображающих системы третьего класса. И в том и в другом случае сами вершины представляют симплексы с числом вершин, равным числу катионов в системе. [c.37] На рис. 19 приведена фигура седьмого измерения, пригодная для изображения восьмикомпонентных систем четвертого класса (т. е. вида 5//4). Так как строение систем и структура фигур, пригодных для их изображения, должны быть идентичны, то можно воспользоваться формулой Эйлера — Пуанкаре для проверки правильности формул, приведенных в табл. 6. [c.37] Во всех случаях получены тождества следовательно, строение систем четвертого класса определено нами правильно. [c.38] Рассмотрение способов образования низших составляющих систем у многокомпонентных систем первых четырех классов по существу приложимо к системам любого класса и может быть обобщено в следующих выражениях. Пусть имеем систему КЦА, где К — число катионов и А — число анионов — любые целые числа, превышающие 4. Очевидно, класс этой системы определяется меньшим из этих двух чисел, а ее общее число компонентов — суммой К+А за вычетом единицы, ввиду равенства суммы катионов сумме анионов любой смеси солей. Число однокомпонентных, двойных, тройных, четверных и так далее составляющих систем определяется из числа сочетаний, возможных между катионами и анионами системы, взятыми по одному, по два, по три и т. д. При этом взаимные системы подразделяются на все большее число классов, по мере увеличения К и А, т. е. по мере возрастания класса системы. [c.38] Разумеется, к системам третьего класса относится и сама исходная система АВСВЦХУЪ. Очевидно, в составе ее низших составляющих не может быть систем четвертого, пятого и других более высоких классов. [c.39] Эти положения можно проиллюстрировать на примере той же системы АВСВ ХУЪ. Здесь Л = 3, А = 4, т. е. Л А следовательно, т 4 означает число, меньшее или равное трем. Очевидно, что только в случае т, равном одному, двум или трем, возможно выражение Са, уже для т, равного четырем, это выражение невозможно оно невозможно, разумеется, и при 4. Таким образом, число простых четверных систем нашей системы АВСВЦХУ1 определяется только выражением Ск-С = С -С, поскольку С А-С к = С з-С 4 содержит множитель Сд, лишенный смысла. Число взаимных пятерных систем с двумя ионами одного знака (второго класса) определяется в данном случае только выражением Ск-Са = С1-С1, так как второе слагаемое Са-Ск = = С1 С1 содержит то же лишенное физического смысла выражение С1- Наконец, число шестерных систем с тремя ионами одного знака (третьего класса) определяется выражением Ск-Са = = С1-С1, второе слагаемое общей формулы Са-Ск = С1-С1 содержит тот же множитель Сз, равный нулю. [c.40] В целом, выражения, определяющие число низших составляющих систем в многокомпонентных системах любого класса, сопоставлены в табл. 7. [c.40] Приведенные формулы указывают не только общее число составляющих систем с данным числом компонентов, но и число систем каждого класса. Для этого достаточно объединить все слагаемые, для которых число сочетаний из А или А берется по одному или по два, по три и т. д., так как они определяют соответственно системы первого, второго, третьего и вообще т-го кЯасса. [c.40] Таким образом, система из т компонентов высшего класса всегда ограничена т — 1)-компонентными взаимными системами, число которых равно сумме чисел катионов и анионов, образующих данную систему. [c.42] С ростом класса систем их строение необычайно усложняется. Достаточно сопоставить следующие данные. [c.42] В тридцатишестикомпонентной простой системе имеется всего 1 947 792 шестикомпонентных систем. Но в системе 20//17 с тем же общим числом компонентов имеется 10198504 шестикомпонентных систем, в том числе 906 440 простых, 3284 264 взаимных второго класса и 6007 800 взаимных третьего класса. [c.42] Если число ионов одного знака у многокомпонентных взаимных систем превышает 3, т. е. для систем четвертого, пятого и более высоких классов, нет соответствующих четырехмерных фигур, которые могли бы служить прообразом аналогичных фигур более высоких измерений. Однако уже на примере систем четвертого класса видно, что это обстоятельство не служит препятствием, и можно подобрать фигуры, пригодные в каждом конкретном случае для изображения составов различных систем и построения их диаграмм состояния. В сл5П1ае систем четвертого класса такие фигуры были найдены на основе анализа результатов, полученных при подборе соответствующих фигур для систем первого, второго и третьего классов. [c.42] Вернуться к основной статье