ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Поиск минимума функций при наличии ограничений в форме равенств из "Методы оптимизации химических реакторов" Типичная картина линий уровня функции двух переменных, имеющей овраг , приведена на рис. 23. Здесь линии уровня сильно растянуты по направлению D и наоборот сильно сжаты вдоль направления СЕ. Следовательно, по направлению СЕ функция меняется быстро, а по направлению D — медленно. [c.72] Эта функция имеет двумерный овраг , если числа и одного порядка и, кроме того, Од 1 и аз С В пространстве Цц 2, Мз овраг расположится вдоль плоскости = 0. Если и 1 йз, а также и числа одного порядка, то функция 2 имеет одномерный овраг , расположенный вдоль оси и . Из сказанного ясно, что одномерный овраг имеет прямую аналогию с теми обычными оврагами, которые мы наблюдаем на поверхности земли. [c.73] Описанные выше локальные методы градиента и наискорейшего спуска малоприменимы для минимизации функций, имеющих овраги . Действительно, рассмотрим, например, использование метода градиента для минимизации функции, линии уровня которой изображены на рис. 23. Пусть закон изменения коэффициента пропорциональности Ш дается формулой (111,13) и спуск привел в точку Л1- Направление вектора-градиента перпендикулярно касательной к линии уровня в данной точке. Поэтому в результате шага по направлению антиградиента следующей точкой спуска может оказаться точка А а, расположенная на другом склоне оврага , в которой функция принимает большее значение, чем в точке А х- Вследствие этого [см. формулу (П1,13)] коэффициент Ш поделится на два, хотя изображающая точка находится далеко от минимума. Такая ситуация может повториться несколько раз в результате шаг сделается достаточно малым и поиск либо остановится в соответствии с критерием (П1,12) далеко от минимума, либо продолжится с очень малой скоростью. [c.73] Для того чтобы не происходило остановок поиска далеко от минимума, можно изменить метод градиента следующим образом. Пусть последовательные приближения по-прежнему подсчитываются по формулам (1П,10), но коэффициент Ы в процессе поиска пока не меняется. Тогда изображающая точка будет двигаться в пространстве так сначала она спустится к оврагу , а потом начнет переходить с одного склона оврага на другой, медленно передвигаясь к минимуму (см. рис. 23). Около минимума направленно движение точки прекратится и она будет беспорядочно колебаться около минимума. Только затем коэффициент /г- можно уменьшить, после чего продолжить описанный процесс заново и т. д. [c.73] Если кривизна оврага не очень большая, то прямая В] В укажет примерное направление движения векторов А А +1. По этому направлению можно сделать большой экстраполяционный шаг в некоторую точку С , откуда начнется новый цикл спуска по описанной процедуре и т. д. [c.74] Опишем здесь еще овражный метод, предложенный И. М. Гель-фандом и М. Л. Цетлиным Вначале выбирают две точки 11° и и , из которых производят спуск на дно оврага градиентным методом (рис. 25), в результате чего находят две точки Л и А . Затем проводят прямую A A в сторону убывания функции 2 в некоторую точку и . [c.74] Длину шага вдоль прямой А А выбирают обычно значительно большей, чем длину шага градиентного метода. [c.74] Из точки опять производят градиентный спуск в точку Л 2 па дне оврага . Далее по направлению прямой А А делают шаг в некоторую точку С/ , после чего процесс повторяют заново и т. д. [c.74] В заключение отметим, что минимизация функций, имеющих овраги , почти всегда приводит к длительным временам счета, поскольку сходимость процесса поиска в этих случаях очень медленная, если, конечно, не известно хорошее начальное приближение. [c.74] Вернуться к основной статье