ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Анализ устойчивости стационарных режимов ехем из "Моделирование сложных химико-технологических схем" Получим в виде примера условия устойчивости гомогенного реактора с рециклом (рис. 88). Здесь блок 1 — узел смешения блок 2 — гомогенный реактор блок 3 — аппарат разделения потоков. Цифры над потоками обозначают их номера. В данном случае вся схема является комплексом. [c.254] Примем, что все блоки устойчивы. Согласно изложенному ранее, анализ устойчивости стационарного режима сложной схемы в таком случае сводится к анализу устойчивости ее комплексов, а анализ устойчивости последних — к проверке отсутствия в правой полуплоскости комплексной переменной р корней характеристического уравнения Д р) = (1е1 Е — О) = О [см. формулу (XI,101)]. где Е — единичная матрица Ь = О (р) — передаточная матричная функция по каналам связи, относящимся к выбранным местам разрыва потоков комплекса (от вектора к вектору ). Величину А (р) условимся называть характеристической функцией, а — /) — характеристической матрицей. [c.255] Данное допущение обычно реализуется на практике, в частности если все блоки комплекса описываются либо обыкновенными дифференциальными (первый тип блоков), либо конечными уравнениями с запаздыванием (второй тип блоков) и в комплексе нет циклов, состоящих только из блоков второго типа (один из возможных случаев, когда указанное условие не выполняется, обсужден ниже). [c.255] Амплитудно-фазовой характеристикой называется образ мнимой оси при отображении ии (р). Если в комплексе присутствуют лишь блоки первого и второго типов, указанная характеристика симметрична относительно действительной оси. [c.256] Пусть р = 0г. При 8 + 0000 — 00, согласно сделанному предположению, и (0г) О и, следовательно, амплитудно-фазовая характеристика обязательно включает точку (0,0г), которая является образом бесконечно удаленной точки. Пусть г (р) — радиус-вектор, идущий из точки = ( —1,0г) в текущю точку ю (р) амплитудно-фазовой характеристики. Если г (р) нигде не проходит через точку и о, число пулей с1е1 (Е — О) в полуплоскости Кер О равно числу полных оборотов радиуса-вектора г (р) против часовой стрелки вокруг точки когда р проходит мнимую ось от точки +00 до точки —оо. Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге [61, с. 119—122]. Из него вытекает для асимптотической устойчивости в первом приближении стационарного режима комплекса необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не проходила и не охватывала точки IV = (—1,0г). [c.256] Приведенное условие проверки устойчивости представляет собой обобщение критерия Найквиста [57, с. 536—540] на случай сложной схемы произвольной структуры. На рис. 89 и 90 показаны примеры амплитудно-фазовых характеристик для устойчивого и неустойчивого режимов. Для простоты на рис. 90 изображены половины характеристик, соответствующие мнимой полуоси (О, +оо ) вторая половина симметрична относительно действительной оси. [c.256] Отметим также, что при построении преобразованной схемы достаточно ограничиться выносом связей, непосредственно ответственных за неустойчивость блока. [c.259] Подчеркнем, что рассматриваемый метод анализа стационарного режима сложной схемы не требует вывода явного аналитического выражения для характеристического уравнения. Численная реализация метода может быть формализована результатами структурного анализа, в значительной степени близкими тем, которые находят применение в задаче расчета стационарного режима (см. главу IV). [c.259] Другой известный подход к проверке отсутствия нулей характеристической функции в правой полуплоскости основан на методе Ь-разбиений [61, с. 124—130]. Такой метод, однако, рассчитан в первую очередь на аналитическое исследование проблемы устойчивости при достаточно простых конструкциях передаточной фукции D(p). [c.259] Выше был описан метод анализа устойчивости стационарных режимов сложных схем общего вида, основанный на численном подходе. Для достаточно простых схем иногда можно получить некоторые общие результаты. Ниже рассматриваются два таких случая анализа устойчивости гомогенного реактора с рециклом исследование влияния смесителя на устойчивость стационарного режима процесса и изучение концентрационной устойчивости реактора при линейном механизме реакций. [c.260] Пусть = а, а = Ь. Согласно равенству (XI,120) получим y xi = = 0 (1 — а) У2Х2 1 — 06. При этом из физического смысла задачи следует, что я О и Ь 0. [c.261] Вернуться к основной статье