ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Квазиньютоновские методы 1-го рода для решения разреженных систем нелинейных уравнений из "Оптимизация химико-технологических процессов" ХТС средних размеров обычно имеется 20—30 аппаратов, а каждый поток в среднем характеризуется 3—5-ю компонентами. Поэтому система (П, 1), (И, 3) будет иметь размерность 60—150 [46]. Желание более точно моделировать ХТС приводит к тому, что размерность решаемых систем нелинейных уравнений растет. В то же время, число итераций даже для решения линейных систем уравнений растет пропорционально их размерности. [c.60] Можно предположить, что и для нелинейных систем число итераций будет расти с увеличением размерности задачи. Поэтому решение системы (П, 1), (II, 3) может потребовать много времени. Особенно это касается случая, когда при оптимизации ХТС приходится многократно рассчитывать ее стационарные режимы для различных значений управляющих переменных. В связи с этим большое значение приобретает разработка эффективных методов решения систем нелинейных уравнений большой размерности. [c.60] Рассмотрим подходы к решению задач расчетом ХТС большой размерности. Заметим, что уменьшение размерности не должно быть самоцелью. Главное — это уменьшение продолжительности счета. [c.60] Последовательный подход. Вначале рассмотрим эту проблему применительно к последовательному подходу. Здесь уменьшение размерности задачи расчета ХТС достигается методами структурного анализа [47]. При этом решаются следующие задачи 1) в схеме выделяются комплексы — совокупности блоков охваченных обратными связями [3, с. 33] 2) определение внутри каждого комплекса оптимальной с точки зрения какого-либо критерия совокупности итерируемых переменных (II, 5). Обычно совокупность итерируемых переменных (II, 5) выбирается из условия, чтобы их суммарная размерность была минимальной. Положительные и отрицательные стороны такого выбора переменных (II, 5) обсуждаются в работе [3, с. 85]. Отметим здесь, что применительно к квазиньютоновским методам это более или менее оправдано, поскольку, как мы уже отмечали, можно считать при применении этих методов, что число итераций растет пропорционально размерности системы нелинейных уравнений. Уменьшаются требования и к размеру памяти, поскольку приходится хранить одну или две матрицы размерности fix/г. При использовании ориентированного на уравнения подхода так же, как и в предыдущем случае определяются комплексы, а внутри комплексов — оптимальные совокупности разрываемых потоков [48 17 18, с. 258]. [c.61] Параллельный подход. Рассмотрим теперь параллельные методы расчета ХТС применительно к системам (I, 1), (I, 6), или эквивалентной ей системы (II, 4). Непосредственное применение квазиньютоновского метода 2-го рода для решения системы (II, 4) потребует хранения двух (Л/ХЛ )-матриц, а число итераций, когда все модели линейны, будет равно N = тМ. Поскольку обычно N п, на первый взгляд может показаться, что переход к параллельному способу только ухудшит результаты. Однако, как показано ниже, использование особенностей структуры ХТС, а, следовательно, особенностей структуры системы (II, 4) может сделать параллельный метод существенно более эффективным. [c.61] Особенности структуры ХТС. Для ХТС характерна ситуация, когда каждый блок связан с небольшим числом других блоков. Это значит, что в отдельное уравнение системы (II, 4) будет входить только небольшая часть общего числа переменных к = , N). Если в 1-тое уравнение системы (II, 4) переменная л ) не входит, то соответствующая частная производная от Ft по этой переменной тождественно равна нулю. Таким образом, матрица Якоби системы (II, 4) будет содержать большое число нулей, и мы имеем дело с системами, обладающими разреженной структурой. [c.61] Следующая особенность состоит в том, что многие элементы матрицы Якоби имеют известные постоянные значения. Так, многие элементы в матрице Якоби, показанной на рис. 10, равны единице. [c.62] наконец, последняя особенность состоит в том, что матрицы Якоби правых частей уравнений (I, 1) для многих блоков легко могут быть вычислены. [c.62] При построении квазиньютоновских методов желательно учесть как можно больше свойств самой матрицы Якоби. Общим для этих методов является то, что строится аппроксимация самой матрицы Якоби, а не обратной. Это связано с тем, что сама матрица может иметь большое число нулевых и постоянных элементов, в то время как обратная обычно является заполненной, имеющей мало нулевых и постоянных элементов. Идея построения квазиньютоновских методов, учитывающих разреженную структуру систем нелинейных уравнений, состоит в том, чтобы при построении матриц Вг (г = 1, 2,. ..) сохранена была структура самих матриц Якоби, т. е. если некоторый элемент матрицы Якоби равен нулю, то и соответствующий элемент матрицы должен быть равен нулю. То же требование относится к случаю, когда элемент матрицы Якоби является либо легко вычисляемым, либо постоянным. Все дальнейшее изложение будет вестись применительно к параллельному методу расчета ХТС. [c.62] Обозначим через Му множество пар целых чисел , /) таких, что соответствующий элемент матрицы J) равен некоторой постоянной рц, не зависящей от точки, а следовательно, и номера итерации (в частности рц может быть равно нулю), т. е. [c.62] Поскольку 5 (г)у = О для (г, /) Л ь то ец = О для (г, /) Мх. [c.64] Полученные формулы (И, 176), (II, 182) являются обобщением формулы Шуберта на случай наличия в матрице постоянных и легко вычисляемых элементов. [c.65] Отметим одну особенность. В методе Бройдена рекуррентное соотношение (II, 47) записывается для всей матрицы сразу. В данном же случае рекуррентное соотношение записывается отдельно для каждой строчки матрицы В - Это связано с тем, что вектор 5 ( ) [см. соотношение (II, 168)] зависит от номера строки Л После того, как матрица 5 будет определена, необходимо решить систему линейных уравнений (II, 22) для определения направления движения рь. Система (II, 22) будет системой с разреженной структурой и для ее решения должны быть использованы специальные методы [36]. [c.65] Для ХТС с блоками, описываемыми нелинейными моделями, интересно выяснить, что лучше для разреженной системы нелинейных уравнений (I, 1), (I, 6) провести структурный анализ и свести дело к решению системы нелинейных уравнений (П, 8) и далее применять обычные квазиньютоновские методы, или же подойти к ней, как к системе с разреженной структурой и применять специальные квазиньютоновские методы, а структурный анализ применять для сжатия линейной системы (II, 22). [c.66] Вернуться к основной статье