ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Характеристика различных подходов к оптимизации химикотехнологических систем из "Оптимизация химико-технологических процессов" Рассмотрим теоретически некоторые особенности совместного применения методов уровней и штрафов и квадратичных методов безусловной минимизации, ориентируясь на эффективность алгоритма оптимизации в целом. Результаты такого рассмотрения могут оказаться полезными при анализе практического применения этих алгоритмов в каждом конкретном случае. [c.122] Предположим, что рассматриваемая задача содержит ограничения лишь в форме равенств. Обратимся к методу уровней. В этом случае минимизируемая функция имеет вид (IV, 36) с p = О, / = д. [c.122] Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122] Для преодоления указанных трудностей при решении задач на условный экстремум и уточнения положения экстремума целесо-образно использовать комбинацию методов уровней и штрафов, первый — в начальной фазе оптимизации, второй — в заключительной. От этих недостатков свободен метод модифицированной функции Лагранжа, который находит в последнее время все более широкое применение. [c.123] В главе 11 было показано, что в зависимости от того, какие переменные в математической модели ХТС принимаются в качестве зависимых и независимых, возникают различные постановки задачи оптимизации ХТС. Для оценки той или иной постановки задачи удобно пользоваться следующими пятью характеристиками. [c.126] Задача 1. Поиск в пространстве управлений [см. формулы (I. 64)-(1, 66)]. [c.127] Задача 2. Поиск по некоторым управлениям при выполнении ограничений на выходные переменные при расчете схемы [см. соотношения (1, 71)—(I, 74)]. В качестве поисковых берут только часть управлений, а ограничения на выходные переменные ХТС автоматически удовлетворяются на каждом шаге оптимизационной процедуры. [c.127] Задача 3. Поиск в пространстве управлений и всех переменных состояния [см. формулы (I, 75)—(I, 76) 1. [c.128] Задача 4. Поиск в пространстве управлений и некоторых переменных состояния [см. формулы (1,79)—(1,81)]. [c.129] Сравнение постановок задач. Подход, использованный в задаче 3, в известном смысле противоположен подходам, использованным в задачах 1 и 2, основной недостаток которых обусловлен необходимостью проведения трудоемких процедур решения системы нелинейных уравнений на первом уровне и значительным усложнением процедуры решения задачи 1 при наличии ограничений (I, 10). [c.129] Основные недостатки использованного в задаче 3 подхода — это необходимость привлечения методов условной минимизации, существенное увеличение числа поисковых переменных и штрафных членов в модифицированном критерии. Поэтому в непосредственном виде этот подход в настоящее время практически не используется. Однако на его основе могут быть построены специальные методы оптимизации больших систем (см. гл. V). [c.129] Е Оптимизация ХТС как многоуровневая процедура. Как мы видели, алгоритмы оптимизации ХТС, как правило, сводятся к многоуровневым процедурам (см. рис. 20, рис. 21). При построении эффективных алгоритмов многоуровневой оптимизации необходимо учитывать следующие правила. [c.130] Правило 1. Алгоритмы каждого уровня должны рассматриваться как взаимосвязанные части единого алгоритма оптимизации, которые должны быть тщательно согласованы один с другим. [c.130] Несколько усложнив работу алгоритмов одного уровня, можно существенно улучшить работу алгоритмов других уровней, что в целом приведет к более эффективной работе всей многоуровневой процедуры и, наоборот, улучшив работу алгоритмов одного уровня, можно усложнить работу алгоритмов других уровней, что приведет к менее эффективной работе всего алгоритма оптимизации. [c.130] Проиллюстрируем это положение двумя примерами. [c.130] За счет выбора поисковых переменных можно упростить задачу расчета схемы (первый уровень), сделав ее безытерационной (сведение задачи 1 к задаче 4), но существенно усложнить второй и третий уровень вследствие возрастания числа штрафных членов. И наоборот, можно усложнить алгоритм первого уровня, учтя в нем ограничения (1,10) (т. е. переходя к задаче 2), но существенно упростить вычисления на втором и третьем уровнях (третий уровень вообще может выпасть). [c.130] Другим примером может послужить выбор шага, т. е. величины коэффициента в соотношении (I, 39) при линейном поиске в методе безусловной минимизации, т. е. на втором уровне (см. рис. 20). При применении методов безусловной оптимизации справедливо следующее чем больше шаг вдоль направления, тем лучше. В том случае, когда первый уровень (расчет схемы) является безытерационным (з адача 4), это справедливо и для многоуровневых процедур. В случае, когда первый уровень (расчет схемы) является итерационным (задача 1 для замкнутой схемы), это правило, вообще говоря, неверно. Действительно, при увеличении шага вдоль поискового направления действуют следующие противоположно направленные тенденции. С одной стороны увеличение шага вдоль направления дает хорошие результаты, поскольку уменьшается число итераций на втором уровне, но с другой стороны, увеличение шага ухудшает начальное приближение при решении системы (1, 65), что может привести к уве-л ичению числа итераций на первом уровне. (При очень большом шаге квазиньютоновский метод на этом уровне вообще может перестать сходиться.) Должен существовать некоторый компромисс, при котором шаг вдоль направления будет наилучшим с точки зрения общего числа итераций на первом и втором уровнях. [c.130] Таким образом, критерием оценки эффективности процедуры оптимизации ХТС должно быть общее число расчетов левых частей системы (I, 65) в случае задачи 1 или системы (I, 72), (I, 73) в случае задачи 2. [c.130] С (и + 1) неизвестным — вектором л и скаляром а (здесь Р — критерий оптимизации р1 — -тое направление поиска безусловной оптимизации г — точка смены направления на (I — 1)-м направлении. [c.131] Перейдем теперь к формулированию 2-го правила. В многоуровневой процедуре /-му шагу к-то уровня соответствует некоторая итерационная процедура к — 1)-го уровня. Так, /-му шагу алгоритма 2-го уровня (см. рис. 20) алгоритма безусловной минимизации соответствует итерационная процедура решения системы нелинейных уравнений (I, 65) расчета стационарного режима ХТС. Итерационному шагу 3-го уровня соответствует итерационная процедура безусловной минимизации 2-го уровня. Для простоты изложения итерационную процедуру к — 1)-го уровня, соответствующую /-му шагу к-то уровня, будем называть /-той итерационной процедурой к-то уровня. Второе правило может быть записано следующим образом. [c.131] Вернуться к основной статье