ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Лииейные системы из "Устойчивость химических реакторов" Общая теория устойчивости строится с помощью функций V (х), для которых семейства V = /С -, вообще говоря, не являются окружностями. В честь ученого-основоположника теории устойчивости (1892 г.) такие функции названы функциями Ляпунова. [c.75] Такое расширение возможно [Кольман и Бертран (1960 г.)] вследствие того, что вывод о движении по траектории в сторону уменьшения остается в силе, если u = О в отдельных точках. [c.76] Заметим, что функция v [х ( )] с неположительной производной существует не для всякой системы. Точнее, существование такой функции является необходимым и достаточным условием устойчивости стационарное состояние устойчиво в том (и только в том) случае, если существует функция Ляпунова. [c.76] Существенно, что в ходе доказательства подразумеваются как угодно малые е. Следовательно, функция V (х) должна иметь бесконечно малую верхнюю границу [Красовский (1968 г.)]. [c.77] В заключение можно отметить, что использованный при доказательстве устойчивости способ рассуждений можно применить для построения е- и б-областей в игре нападающего и защитника. [c.77] Доказательство Ляпунова существования устойчивости в малом является неконструктивным, так как оно не содержит алгоритма построения функции V (х). Поэтому для решения прикладных задач разработаны методы исследования устойчивости, основанные на более конкретном выборе функции Ляпунова. [c.77] Если в определении V (IV, 13) матрица Р выбрана положительно-определенной, то условия существования функции Ляпунова (IV, 11), за исключением (IV, Ив), удовлетворяются автоматически. Таким образом, ответ на вопрос, существует ли функция Ляпунова для системы (IV, 12) с конкретной матрицей А, определяется условием (IV, Пв). [c.77] Производная V будет отрицательно-определенной, если для матрицы А можно найти такую положительно-определенную матрицу Р, чтобы матрица О (IV, 18) также была положительно-определенной. Таким образом, для доказательства устойчивости линейной системы (IV, 12) необходимо построить две положительноопределенные матрицы Р и О. Если линейная система устойчива, то такие Р и О всегда существуют. [c.78] Пример 1У-1. Найти функцию Ляпунова для системы уравнений (IV, 9). [c.78] Контуры этой функции изображены на рис. -16. Из уравнения (IV, 20) следует, что матрица Р — положительно-определенная, матрица же О = I — положительно-определенная по своему определению. Таким образом, система (IV, 9) устойчива по Ляпунову. [c.78] Заметим, что выбор в качестве контуров семейства эллипсов (IV, 20) действительно обеспечивает (рис. 1У-1б) правильную последовательность пересечения контуров при движении по траектории. [c.78] Такая матрица Q не удовлетворяет условию (IV, 156). Это вновь подтверждает, что окружности на рис. IV-1а неадекватны контурам Ляпунова. [c.79] Разобранный здесь пример свидетельствует о том, что выбирать сначала пробную матрицу Q, а потом вычислять матрицу Р выгоднее, чем действовать в обратном порядке. [c.79] Существует еще один довод в пользу такого вывода. Парксом (1963 г.) было доказано, что, если при надлежащем выборе Q матриц Р не оказывается положительно-определенной, то стационарное состояние системы неустойчиво. Иными словами, двойное условие на матрицы Р и Q, сформулированное в этом разделе, необходимо и достаточно для установления устойчивости системы. [c.79] Вернуться к основной статье